结论：小饭店和厨师长吵架当天不干了，厨师长仍有权要求饭店支付其应得的工资。具体处理方式及法律依据如下：
一、工资支付的基本原则
根据《中华人民共和国劳动法》及《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者享有取得劳动报酬的权利，用人单位应当按照劳动合同约定和国家规定，向劳动者及时足额支付劳动报酬。这意味着，无论劳动者与用人单位之间是否存在争议或矛盾，只要劳动者已经提供了劳动，用人单位就应当支付相应的工资。
二、具体处理方式
协商解决：
- 厨师长可以首先尝试与饭店进行协商，要求饭店支付其应得的工资。在协商过程中，厨师长可以出示相关的工作记录、考勤记录等证据，以证明其已经提供了劳动。
- 如果饭店同意支付工资，双方可以就支付金额、支付时间等事项达成一致，并签订书面协议。
申请调解：
- 如果协商无果，厨师长可以向当地的劳动争议调解组织申请调解。调解组织会组织双方进行调解，并尝试达成和解协议。
- 调解协议具有法律效力，如果饭店不履行调解协议，厨师长可以向人民法院申请强制执行。
申请仲裁：
- 如果调解无果或者厨师长不愿意进行调解，厨师长可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会会依法进行裁决，并出具仲裁裁决书。
- 仲裁裁决书具有法律效力，如果饭店不履行仲裁裁决，厨师长可以向人民法院申请强制执行。
提起诉讼：
- 如果仲裁裁决结果对厨师长不利或者饭店不履行仲裁裁决，厨师长可以向人民法院提起诉讼。法院会依法进行审理，并作出判决。
- 判决具有法律效力，如果饭店不履行判决，厨师长可以申请强制执行。
三、注意事项
保留证据：
- 厨师长在要求支付工资的过程中，应当保留好相关的工作记录、考勤记录、工资条等证据，以证明其已经提供了劳动以及应得的工资数额。
及时行动：
- 厨师长应当在发现饭店未支付工资后及时采取行动，避免超过劳动争议申请仲裁的时效期间（一般为一年）。
合法维权：
- 厨师长在维权过程中应当遵守法律法规，不得采取过激行为或者违法行为来维护自己的权益。
建议：如果厨师长在要求支付工资的过程中遇到困难或者不确定如何操作，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议和帮助。