结论：小公司未提供离职证明的行为违反了法律规定，您有权要求公司出具，若公司拒绝，您可以通过法律途径维护自己的权益。
法律背景与依据：
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这是用人单位的法定义务，必须履行。
法律建议：
与公司协商：
- 首先，您可以尝试与公司进行友好协商，明确告知公司其未出具离职证明的行为违反了法律规定，并要求公司立即出具。
- 在协商过程中，您可以保留好相关的沟通记录，如邮件、短信或聊天记录等，以备后续维权之需。
向劳动监察部门投诉：
- 如果公司拒绝出具离职证明，您可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行调查和处理，并可以责令用人单位改正。
- 在投诉时，您需要提供相关的证据材料，如劳动合同、工作证明、工资单等，以证明您与该公司存在劳动关系以及公司未出具离职证明的事实。
申请劳动仲裁：
- 如果劳动监察部门的处理结果未能满足您的需求，或者公司仍然拒绝出具离职证明，您可以向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 在申请劳动仲裁时，您需要提交仲裁申请书、相关证据材料以及您的身份证明等文件。劳动仲裁委员会将依法对案件进行审理，并作出裁决。
可能的法律后果：
- 如果公司未按照法律规定出具离职证明，给您造成损失的，公司应当承担赔偿责任。这包括但不限于因无法入职新公司而造成的工资损失、社保断缴的损失等。
- 同时，公司还可能面临劳动监察部门的行政处罚，如罚款、责令改正等。
额外提醒：
- 在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，避免与公司发生不必要的冲突和争执。
- 如果您对法律程序不熟悉或者担心自己的权益无法得到有效保障，可以考虑寻求专业律师的帮助。作为专注于劳动纠纷领域的律师，我可以为您提供专业的法律咨询和代理服务。
最后，希望您能够顺利解决这个问题，并维护好自己的合法权益。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。