结论：教师在私人学校签约一年合同但三个月没发工资，是可以进行投诉的，并且还可以考虑通过劳动仲裁或法律诉讼等途径来维护自己的合法权益。
分析说明：
投诉途径：
- 教师作为劳动者，与私人学校之间建立了劳动关系。根据《劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，用人单位应当按时足额支付劳动者的工资。如果学校未按时支付工资，教师有权向当地的劳动监察部门进行投诉。劳动监察部门将会对学校的违法行为进行调查，并要求学校及时支付拖欠的工资。
劳动仲裁：
- 如果投诉后问题仍未得到解决，教师还可以考虑向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。劳动仲裁是一种相对快速、有效的解决劳动争议的方式。在仲裁过程中，教师需要提供相关证据，如劳动合同、工资条、考勤记录等，以证明学校存在拖欠工资的行为。如果仲裁裁决支持教师的诉求，学校将需要支付拖欠的工资，并可能面临一定的法律责任。
法律诉讼：
- 如果劳动仲裁未能解决问题，或者教师对仲裁结果不满意，还可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，教师需要准备充分的证据，并遵循法律程序进行诉讼。法院将会根据事实和法律规定，对案件进行审理，并作出判决。如果判决支持教师的诉求，学校将需要履行判决，支付拖欠的工资，并可能承担诉讼费用等额外责任。
行动建议：
- 收集证据：在采取任何行动之前，教师应当先收集相关证据，如劳动合同、工资条、考勤记录等，以证明学校存在拖欠工资的行为。这些证据将在后续的投诉、仲裁或诉讼过程中发挥重要作用。
- 及时投诉：一旦发现学校拖欠工资，教师应当及时向当地的劳动监察部门进行投诉。投诉时应当提供详细的证据和情况说明，以便劳动监察部门能够迅速了解问题并采取措施。
- 考虑仲裁或诉讼：如果投诉后问题仍未得到解决，教师可以考虑向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁或向人民法院提起诉讼。在选择仲裁或诉讼之前，教师应当了解相关程序和要求，并准备好充分的证据和材料。
后续思考依据：
- 在处理此类纠纷时，教师应当了解自己的权益和法律途径，以便在必要时采取行动维护自己的合法权益。同时，教师也应当注意保留相关证据和材料，以便在后续的投诉、仲裁或诉讼过程中使用。如果教师在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。