结论：针对您在公司上班时烟雾中毒，公司不愿做伤势鉴定导致工伤未能完成流程，5年后出现问题的情况，您仍有可能通过法律途径维护自身权益，但需根据具体情况采取相应措施。以下是对此问题的详细分析：

一、工伤认定的基本原则与流程

1. 工伤认定原则：根据《工伤保险条例》及相关规定，工伤认定遵循“无过错责任原则”，即劳动者在工作时间、工作场所内因工作原因受到事故伤害，或患职业病的，应当认定为工伤，不要求劳动者对事故伤害无过错。但需注意，若劳动者存在故意犯罪、醉酒/吸毒、自残/自杀等法定排除情形，则不得认定为工伤。

2. 工伤认定流程：

   • 申请时限：用人单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。
   • 申请主体：若用人单位未按规定提出工伤认定申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 举证责任：根据《工伤保险条例》第十九条，若用人单位主张不构成工伤，需承担举证责任。

二、针对您情况的具体分析

1. 公司未做伤势鉴定的影响：公司不愿做伤势鉴定，并不影响您自行申请工伤认定。您或您的近亲属、工会组织可在规定时限内，直接向社会保险行政部门提出工伤认定申请，并提交相关证据材料，如医疗证明、工作记录等。

2. 5年后出现问题的处理：

   • 时效问题：虽然工伤认定申请有时限限制，但若您在5年后出现与烟雾中毒相关的健康问题，且能证明该问题与之前的工作环境或工作原因有关，您仍有可能通过法律途径寻求救济。这可能需要您提供充分的医疗证据和因果关系证明。
   • 救济途径：
     • 重新申请工伤认定：若您能提供新的证据材料，证明您的情况符合工伤认定条件，可尝试向社会保险行政部门重新申请工伤认定。
     • 提起民事诉讼：若工伤认定途径受阻，您可考虑以人身损害赔偿为由，向法院提起民事诉讼，要求公司承担相应的赔偿责任。在此过程中，您需要证明公司存在过错，且该过错与您的损害结果之间存在因果关系。

三、建议与措施

1. 收集证据：尽快收集与烟雾中毒相关的医疗证明、工作记录、证人证言等证据材料，以证明您的情况符合工伤认定条件或公司存在过错。

2. 咨询专业律师：鉴于工伤认定和民事诉讼的复杂性，建议您咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和指导。

3. 及时行动：不要拖延时间，尽快采取行动，以免错过法律规定的时限或导致证据灭失。

最后，您的情况虽然复杂且时间跨度较长，但仍有可能通过法律途径维护自身权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。