核心结论：您在医院工作19年后单位突然不续签合同，单位应按照《劳动合同法》规定向您支付经济补偿，补偿标准需结合您是否属于“无固定期限劳动合同”情形及单位不续签的具体原因综合判断。以下是具体分析：
一、若您已符合签订无固定期限劳动合同条件，单位单方不续签属违法解除，需支付赔偿金（2倍经济补偿）
根据《劳动合同法》第14条，劳动者在用人单位连续工作满10年的，应当订立无固定期限劳动合同。您已工作19年，若此前未签订无固定期限合同且单位未提出异议，此次不续签可能被认定为违法解除。
赔偿标准：按您离职前12个月平均工资的2倍×工作年限（19年）。例如，若月均工资为1万元，则赔偿金为1万×2×19=38万元。
关键证据：需提供能证明连续工作19年的材料（如劳动合同、工资流水、社保记录、工作证等），以及单位明确表示不续签的书面通知或录音。
二、若您未签订无固定期限合同但单位合法不续签，需支付经济补偿（N倍工资）
若单位能证明不续签是因客观情况变化（如医院改制、部门撤销等）且已履行协商义务，则属于合法终止，需支付经济补偿。
补偿标准：按您离职前12个月平均工资×工作年限（19年）。若月均工资1万元，则补偿为1万×19=19万元。
注意：若您的月工资高于当地上年度职工月平均工资3倍，则补偿按3倍工资封顶计算（例如当地平均工资为5000元，则月补偿上限为1.5万元，19年总补偿为1.5万×19=28.5万元）。
三、若单位未提前30天通知不续签，需额外支付1个月工资作为代通知金
根据《劳动合同法》第40条，除因劳动者过错外，单位终止合同需提前30日书面通知。若未提前通知，需支付1个月工资作为代通知金（按您离职前1个月工资标准）。
行动建议
温馨提示：实践中，单位可能以“合同到期自然终止”为由规避责任，但您的工作年限已达19年，单位负有更高的举证义务。若遇到复杂情况（如单位否认劳动关系、工资标准争议等），可随时向我补充细节，我会进一步为您分析。