若司法鉴定伤残时，相关单位不愿意出示委托书，您可以采取以下措施来处理：

1. 明确要求与沟通：

   • 首先，您可以明确向该单位提出要求，请求其出示正式的委托书。在沟通过程中，保持冷静和理性，详细阐述委托书在司法鉴定过程中的重要性和必要性，以及缺乏委托书可能带来的法律后果。

2. 了解拒绝原因并寻求解决方案：

   • 如果单位拒绝出示委托书，您可以进一步询问其拒绝的具体原因。是因为内部流程问题、对鉴定事项有异议，还是其他原因？根据不同的原因，您可以尝试提出相应的解决方案，如协助单位完善内部流程、提供必要的法律文件或信息以消除其疑虑等。

3. 寻求第三方协助或调解：

   • 如果直接沟通无果，您可以考虑寻求第三方的协助或调解。例如，您可以联系该单位的上级主管部门、行业协会或相关的法律服务机构，请求他们介入调解或提供法律建议。这些机构通常具有更丰富的经验和资源，能够更有效地解决问题。

4. 考虑法律途径：

   • 如果上述措施均未能解决问题，且您认为该单位的行为已经侵犯了您的合法权益，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。例如，您可以向法院提起诉讼，要求该单位出具委托书或承担相应的法律责任。在提起诉讼前，建议您先咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能的风险。

在处理此类问题时，您还需要注意以下几点：

• 保留证据：在沟通过程中，务必保留好所有相关的证据，如聊天记录、邮件、电话录音等。这些证据在后续的法律程序中可能起到关键作用。
• 了解法律程序：在采取法律途径前，建议您先了解相关的法律程序和规定，以便更好地维护自己的权益。
• 寻求专业支持：如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的支持和帮助。他们能够提供更具体、更专业的法律建议和指导。