劳动监察部门确实会处理公司不签劳动合同的问题。以下是从多个角度对这一问题的详细解析：

一、劳动监察部门的职责与受理范围

根据《劳动保障监察条例》等相关规定，劳动监察部门负责对用人单位遵守劳动保障法律、法规和规章的情况进行监督检查。用人单位与劳动者未签订劳动合同，违反了《劳动合同法》的相关规定，属于劳动监察的职责范围。因此，当劳动者发现用人单位存在未签订劳动合同的情况时，有权向劳动监察部门进行投诉或举报。

二、投诉与举报的受理流程

1. 提交材料：劳动者在投诉时，需要提交能证明与用人单位存在劳动关系的材料，如工资支付凭证、工作证、考勤记录等。这些材料将作为劳动监察部门调查取证的重要依据。
2. 初步审查：劳动监察部门在收到投诉后，会进行初步审查，判断案件是否属于其管辖范围，并评估是否符合受理条件。一旦符合，将正式受理并告知投诉人或举报人。
3. 调查取证：劳动监察部门会向用人单位发出《劳动保障监察调查询问书》等法律文书，要求其就未签订劳动合同的情况作出书面说明，并提供相关证据材料。同时，监察人员可能前往用人单位实地调查，与负责人、人力资源管理人员及劳动者进行面对面谈话，以核实实际用工情况。

三、依法处理与责令改正

若调查结果表明用人单位确实存在未签劳动合同的违法行为，劳动监察部门将进行立案审查，并依法作出处理决定。具体处理措施包括：

1. 要求补签劳动合同：劳动监察部门会向用人单位下达《劳动保障监察责令改正决定书》，明确要求其在规定期限内与劳动者补签书面劳动合同。
2. 支付赔偿与补偿：若因未签订劳动合同导致劳动者权益受损，如应获得的双倍工资等，劳动监察部门会督促用人单位依法支付相应的赔偿或补偿。根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
3. 行政处罚：对于逾期不改正的用人单位，劳动监察部门可依据相关法律法规进行行政处罚，包括但不限于罚款、责令停业整顿等。

四、劳动者的法律救济途径

如果劳动者对劳动监察部门的处理结果不满意，或者用人单位拒绝履行处理决定，劳动者还可以通过以下法律救济途径来维护自身权益：

1. 申请行政复议：对劳动监察部门作出的处理决定不服的，劳动者可以在法定期限内向上一级劳动保障行政部门申请行政复议。
2. 提起诉讼：劳动者也可以直接向人民法院提起诉讼，要求用人单位承担相应的法律责任。
3. 申请劳动仲裁：如果劳动者与用人单位之间的争议属于劳动争议范畴，劳动者还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过仲裁程序解决争议。

五、建议与提醒

1. 及时投诉：一旦发现用人单位存在未签订劳动合同的情况，劳动者应及时向劳动监察部门投诉，以便尽早维护自身权益。
2. 保留证据：劳动者在投诉前应尽可能收集并保留与用人单位存在劳动关系的证据材料，如工资支付凭证、工作证、考勤记录等。
3. 了解法律：劳动者应了解相关的劳动法律法规，明确自己的权益和义务，以便在维权过程中做到有理有据。

综上所述，劳动监察部门在处理公司不签劳动合同的问题时，会遵循严格的法定程序，从投诉受理到调查取证、立案审查、依法处理等各个环节均全面覆盖。因此，劳动者在遇到此类问题时，应积极向劳动监察部门寻求帮助。如果您在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。