结论前置：公司不给监事签劳动合同是否违法，需分情况讨论。一般情况下，若监事属于公司员工，公司不签劳动合同是违法的；但若监事并非公司员工，而是股东或其他外部人员担任，则可能不涉及违法问题。

详细分析：

1. 监事属于公司员工的情况：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。监事作为公司的一员，如果其同时也在公司担任具体职务（如部门经理、员工等），那么其与公司之间就存在劳动关系。
   • 法律建议：在这种情况下，公司应当与监事签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。如果公司不签劳动合同，监事有权要求公司签订，并可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求公司承担未签劳动合同的法律责任，如支付双倍工资等。
   • 可能法律后果：公司未与监事签订劳动合同，可能面临劳动监察部门的处罚，以及监事提起的劳动仲裁或诉讼，要求公司支付未签劳动合同期间的双倍工资等。

2. 监事并非公司员工的情况：

   • 法律背景：如果监事是由股东或其他外部人员担任，且其并不在公司担任具体职务，不参与公司的日常经营管理，那么其与公司之间可能并不构成劳动关系。在这种情况下，公司不与监事签订劳动合同，并不违反《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。
   • 法律建议：虽然不签劳动合同不违法，但为了明确双方的权利和义务，避免潜在的纠纷，公司可以与监事签订一份书面协议，明确监事的职责、权利、义务以及报酬等事项。
   • 特殊情况说明：即便监事并非公司员工，但如果其因执行公司职务而遭受损害（如因公司决策失误导致监事个人财产受损），公司仍可能需承担一定的法律责任。不过，这通常与劳动合同无关，而是基于公司法或侵权责任法的相关规定。

进一步思考：

• 在实际操作中，判断监事是否属于公司员工，需要综合考虑其是否在公司担任具体职务、是否参与公司的日常经营管理、是否从公司领取报酬等因素。
• 如果监事同时是公司股东，其与公司之间的关系可能更加复杂，涉及公司法、合同法等多个法律领域。在这种情况下，建议公司咨询专业律师，以确保合规运营并降低法律风险。

总结：公司不给监事签劳动合同是否违法，取决于监事是否属于公司员工。如果属于公司员工，则公司违法；如果不属于公司员工，则可能不涉及违法问题。但无论如何，为了明确双方的权利和义务，避免潜在的纠纷，公司都可以考虑与监事签订书面协议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。