针对您提出的“私人超市员工上班期间突然死亡，雇主如何赔偿”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，员工在上班期间突然死亡，其是否构成工伤事故是决定雇主赔偿方式的关键因素。根据《工伤保险条例》的相关规定，若员工在工作时间和工作岗位上突发疾病死亡，或者在48小时之内经抢救无效死亡的，这种情况应被视同为工伤事故。
一、若构成工伤事故：
申报工伤：
- 用人单位（即雇主）应尽快进行工伤申报事宜，向相关部门提交必要的材料和证明。
赔偿支付：
- 申报成功后，由用人单位与工伤保险基金会依照相关法规规定，进行相应的赔偿支付。这包括但不限于一次性工亡补助金、丧葬补助金、供养亲属抚恤金等。
二、若不构成工伤事故：
侵权责任人赔偿：
- 若存在明确的侵权责任人（如因第三方原因导致员工死亡），则应由该侵权责任人承担赔偿责任。
个人原因承担：
- 若无明确的侵权责任人，且员工死亡系由于个人原因所致（如突发自身疾病且非工作原因引发），那么在非工伤情况下，雇主可能不承担直接的赔偿责任。但雇主仍需根据实际情况，考虑是否给予一定的人道主义补助。
三、其他注意事项：
雇主责任：
- 雇主有义务为员工提供安全、健康的工作环境，并采取必要的预防措施以减少工伤事故的发生。若因雇主未履行相关义务而导致员工死亡，雇主可能需要承担相应的法律责任。
法律咨询：
- 在处理此类复杂情况时，建议雇主和员工家属都寻求专业的法律咨询，以确保各自的权益得到妥善保护。
综上所述，对于私人超市员工上班期间突然死亡的情况，雇主应首先判断是否构成工伤事故。若构成工伤，则按照工伤保险的相关规定进行赔偿；若不构成工伤，则根据具体情况判断赔偿责任。在任何情况下，雇主都应积极配合相关部门进行调查和处理，并给予员工家属必要的支持和帮助。