结论：公司发现员工为期一周的短期实习后是否会直接开除，需结合具体情况判断，通常不会直接开除，但存在合规风险。以下是具体分析：

1. 公司规章制度是关键

若公司《员工手册》或劳动合同中明确规定“禁止员工在任职期间从事其他兼职或实习”，且该规定经过民主程序公示（如员工签字确认），则公司有权依据规章制度处理。但直接开除需满足“严重违反规章制度”的条件，例如：

• 实习行为导致本职工作严重失职（如频繁请假、工作失误）；
  
• 实习单位与公司存在竞争关系，可能泄露商业秘密；
  
• 员工隐瞒实习事实，被认定为“不诚信”。
  若仅是短期、无冲突的实习，且未影响工作，公司通常不会直接开除，但可能要求员工停止实习或警告。

2. 实习是否影响本职工作是核心

根据《劳动合同法》第39条，员工“严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害”的，公司可解除合同。若短期实习导致：

• 频繁缺勤、拖延任务；
  
• 利用公司资源为实习单位谋利；
  
• 因实习疲劳导致工作错误，
  则公司可能以“严重失职”为由开除。但若实习未影响工作，公司直接开除可能被认定为违法解除，需支付赔偿金（2N）。

3. 实习单位与公司的关系需关注

若实习单位与公司存在竞争关系（如同行业、同类业务），且员工未申报，可能涉嫌违反《劳动合同法》第23条（竞业限制）或第39条（违反忠诚义务）。此时公司可能以“严重违反规章制度”或“损害公司利益”为由开除，但需证明：

• 员工知晓竞业限制义务；
  
• 实习行为实际损害公司利益（如泄露客户信息）。
  若无法证明，直接开除可能违法。

4. 员工应对建议

• 主动沟通：若公司发现实习，可先说明情况（如实习目的、时间安排），强调未影响本职工作，争取谅解；
  
• 核查制度：要求公司出示相关规章制度及民主公示程序，若制度未公示或不合理，可主张开除违法；
  
• 保留证据：保存工作记录、考勤记录等，证明实习未影响工作；
  
• 协商解决：若公司坚持开除，可协商补偿（如N+1），避免诉讼成本。

总结：公司发现短期实习后，是否开除取决于规章制度、实习影响及竞争关系。若制度合法、实习影响工作或存在竞争，开除风险较高；否则，公司可能仅警告或要求停止实习。建议根据具体情况评估风险，必要时通过法律途径维护权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。