员工可以申请工伤认定，且工伤赔偿与雇主责任险的赔付是相互独立的，互不影响。以下是详细分析：

1. 工伤认定的权利：

   • 根据《工伤保险条例》及相关法律规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，有权向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 工伤认定是员工的法定权利，不受雇主是否购买雇主责任险或购买何种保险的影响。

2. 雇主责任险与工伤赔偿的关系：

   • 雇主责任险是一种商业保险，旨在为雇主在员工因工作遭受意外伤害或患职业病时提供经济赔偿。但该险种的赔付金额和范围由保险合同约定，通常有限额。
   • 工伤赔偿则是根据《工伤保险条例》等法律法规，由工伤保险基金或雇主（未参加工伤保险时）支付给员工的法定赔偿。其赔偿项目和标准由法律明确规定，包括医疗费、伤残补助金、一次性工伤医疗补助金等。
   • 两者是独立的法律关系，雇主责任险的赔付不替代也不影响工伤赔偿的获得。

3. 申请工伤认定的流程：

   • 员工应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 申请时需提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或职业病诊断证明书等材料。

4. 若雇主未购买工伤保险：

   • 根据《工伤保险条例》第六十二条，用人单位未参加工伤保险的，由用人单位按照工伤保险待遇项目和标准支付费用。
   • 这意味着，即使雇主只购买了雇主责任险，员工仍有权要求雇主按照工伤赔偿标准进行赔偿。

建议：

• 员工应尽快向社会保险行政部门提出工伤认定申请，以保障自己的合法权益。
• 若在工伤认定或赔偿过程中遇到问题，如雇主拒绝配合或赔偿不足等，员工可以寻求法律援助或直接向我咨询，我将根据具体情况提供法律建议和帮助。