针对您的情况，即公司违规辞退员工、不开具辞退单且拖欠五个月工资，您可以通过以下途径来维护自己的合法权益：
与公司协商：
- 首先，您可以尝试与公司进行友好协商，明确指出公司辞退员工应开具辞退单，这是公司的法定责任。同时，要求公司支付拖欠的工资。
- 在协商过程中，您可以保留相关证据，如与公司的沟通记录、工资条等，以备后续维权之需。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对公司进行调查，并责令公司改正违法行为，如开具辞退单、支付拖欠的工资等。
- 投诉时，您需要提供相关证据，如工作证、工资条、与公司的沟通记录等，以证明您的权益受到了侵害。
申请劳动仲裁：
- 如果劳动监察部门的处理结果未能满足您的需求，您可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 在申请劳动仲裁时，您需要提交仲裁申请书，并附上相关证据，如劳动合同、辞退通知（如有）、工资条、与公司的沟通记录等。
- 仲裁委员会将依法进行审理，并作出裁决。如果裁决支持您的诉求，公司应履行裁决义务。
提起诉讼：
- 如果对劳动仲裁结果不满意，您可以在规定期限内向人民法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，您需要提交起诉状，并附上相关证据。法院将依法进行审理，并作出判决。
- 如果判决支持您的诉求，公司应履行判决义务。否则，您可以申请强制执行。
关于拖欠工资的计算与追讨：
- 根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司应按时足额支付员工工资。如果公司拖欠工资，您有权要求公司支付拖欠的工资及可能产生的滞纳金或赔偿金。
- 具体计算公式可能因地区和政策而异，但一般包括拖欠工资的本金及可能按一定比例计算的滞纳金。例如，如果公司拖欠您五个月的工资，每月工资为X元，那么拖欠的本金就是5X元。滞纳金的具体数额可能需要根据当地政策或合同约定来确定。
关于辞退单的重要性：
- 辞退单是证明劳动关系解除的重要书面凭证。没有辞退单，可能会影响您后续的再就业，因为新单位可能难以了解您离职的真实原因和工作表现。
- 在涉及劳动纠纷时，辞退单也是重要的证据之一。没有辞退单，可能会使您在举证方面处于不利地位。
建议与提醒：
- 在整个维权过程中，请务必保留好相关证据，如工作证、工资条、与公司的沟通记录等。
- 如果您对法律程序不熟悉或担心自己的权益得不到充分保障，可以寻求专业法律人士的帮助。当然，作为专业律师，我随时准备为您提供法律咨询和帮助。
希望以上建议能对您有所帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。