结论：员工与公司签订的劳动合同到期后，员工有权要求公司续签无固定期限劳动合同，若公司拒绝续签，则可能面临法律责任。
分析：
员工权利：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当员工与公司签订的劳动合同到期时，如果员工在公司连续工作满十年，或者连续订立两次固定期限劳动合同且员工没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，员工有权要求与公司订立无固定期限劳动合同。
- 若员工符合上述条件并提出续签无固定期限劳动合同的要求，公司应当与员工续签，除非存在法律规定的特殊情形（如员工严重违反公司规章制度、被依法追究刑事责任等）。
公司责任：
- 如果公司拒绝与符合条件的员工续签无固定期限劳动合同，则可能构成违法终止劳动合同。
- 根据法律规定，公司违法终止劳动合同的，应当向员工支付赔偿金，赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍。经济补偿金按员工在公司工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。
员工应对措施：
- 如果公司拒绝续签无固定期限劳动合同，员工可以先与公司进行协商，尝试解决争议。
- 若协商无果，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金并续签无固定期限劳动合同。
- 对劳动仲裁结果不服的，员工还可以向人民法院提起诉讼。
特殊情况考虑：
- 如果员工不符合订立无固定期限劳动合同的条件（如未连续工作满十年或未连续订立两次固定期限劳动合同），则公司有权拒绝续签无固定期限劳动合同，但应依法支付经济补偿金。
- 另外，如果公司存在经营困难、转型等特殊情况，且能够证明续签无固定期限劳动合同将对公司造成重大损失，公司也可能在符合法律规定的情况下拒绝续签，但这种情况较为罕见且需要严格的法律程序和证据支持。
建议：
- 对于员工而言，如果认为自己符合续签无固定期限劳动合同的条件且公司拒绝续签，应及时收集相关证据（如劳动合同、工作年限证明等）并咨询专业律师以维护自己的合法权益。
- 对于公司而言，应严格遵守劳动合同法的相关规定，在决定是否续签劳动合同时应充分考虑员工的合法权益和公司的法律责任。
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