当遇到劳动合同到期但员工希望续签而公司不签的情况时，公司需要遵循一定的法律程序和原则来处理，同时员工也有相应的权益需要得到保障。以下是对此问题的详细解答：
一、公司应明确法律义务与责任
劳动合同终止的法律基础：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，劳动合同期满且不存在法定续延情形时，劳动合同即告终止。但公司不续签并不意味着可以随意处理，仍需遵循法律规定。
经济补偿的支付义务：
- 若公司主动提出不续签劳动合同，且员工无过错，或者存在其他法定应支付经济补偿的情形，公司需向员工支付相应的经济补偿。这是公司的法定义务，不得随意免除。
二、经济补偿的具体标准与计算
计算方式：
- 经济补偿按员工在本公司工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。
月工资的定义：
- 月工资是指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若员工月工资高于当地职工月平均工资三倍的，经济补偿金按三倍数额支付，但最高不超过十二年。
三、公司应与员工进行积极沟通
说明不续签的原因：
- 公司应主动与员工沟通，明确说明不续签劳动合同的具体原因。这有助于消除员工的疑虑和误解，为后续的协商或处理打下基础。
协商经济补偿事宜：
- 在沟通中，公司应就经济补偿事宜与员工进行协商，争取达成双方都能接受的协议。若员工对经济补偿有异议，公司应耐心解释法律规定和计算标准，以达成共识。
四、公司应做好相关证据的保留与整理
劳动合同文本：
- 公司应妥善保存劳动合同文本，作为证明双方劳动关系及约定内容的基础。
工资支付记录：
- 公司应保留工资支付记录，如银行流水单、工资条等，以证明员工工作期间的收入情况。
沟通记录与证据：
- 公司应保留与员工沟通不续签事宜的记录和证据，如聊天记录、邮件等，以备后续可能出现的法律纠纷。
五、若协商无果，公司应配合员工通过法律途径解决纠纷
劳动仲裁的配合：
- 若员工对公司的不续签决定或经济补偿方案有异议，并申请劳动仲裁，公司应积极配合仲裁机构的工作，提供必要的证据和材料。
诉讼的应对：
- 若员工对仲裁结果不服并提起诉讼，公司应依法应诉，按照法院要求进行举证、质证等诉讼活动，积极维护公司的合法权益。
六、特殊情形的处理
- 长期员工与医疗期内员工的保护：
- 若员工在公司连续工作满十年，或连续订立二次固定期限劳动合同且无过错，公司不续签属于违法终止劳动合同。员工有权要求继续履行或要求公司支付二倍经济补偿金的赔偿金。
- 如果员工处于法定医疗期内，劳动合同应顺延至医疗期结束。此时公司不续签属于违法解除劳动合同，同样需支付二倍经济补偿金的赔偿金。
综上所述，当劳动合同到期但员工希望续签而公司不签时，公司应明确法律义务与责任，按照法律规定支付经济补偿，与员工进行积极沟通协商，并做好相关证据的保留与整理。若协商无果，公司应配合员工通过法律途径解决纠纷，并特别注意对长期员工和医疗期内员工的保护。