工会可以补发漏发的事业单位生日福利，但需结合具体情况和单位制度处理。具体分析如下：

1. 工会职责与福利性质
   根据《工会法》及事业单位相关管理规定，工会作为职工权益的代表组织，有权对职工福利进行管理和监督。若生日福利属于工会经费列支的职工福利项目（如节日慰问品、生日卡等），且漏发是由于单位或工会工作疏漏导致，工会应当承担补发责任。

2. 补发的前提条件

   • 制度依据：需确认单位或工会是否有明确的生日福利发放制度（如《职工福利管理办法》），且制度中未规定“逾期不补”等限制条款。
     
   • 经费充足：工会经费需有结余，能够覆盖补发费用。若经费不足，需通过会员会费补充或调整预算。
     
   • 程序合规：补发需经工会委员会讨论通过，并留存会议记录作为依据。

3. 补发的操作方式

   • 直接补发：若漏发人数较少、金额较低，可简化程序直接补发。
     
   • 集体协商：若涉及多人或历史遗留问题，可通过职工代表大会或工会与行政方协商解决。
     
   • 替代补偿：若原福利形式（如实物）已无法实现，可协商改为等值现金或其他形式补偿。

4. 例外情形

   • 制度明确排除：若单位制度明确规定“福利漏发不补”，则工会可能无需补发，但此类条款需经民主程序制定且不违反法律强制性规定。
     
   • 个人原因导致：如职工未及时提供信息或已离职，工会可能不承担补发责任。

建议：若您所在单位漏发生日福利，可先向工会提出书面申请，要求说明漏发原因及补发方案。若工会拒绝，可要求其出具书面依据，并依据《工会法》第二六条（工会经费使用需接受会员监督）向上一级工会反映。如有争议，可进一步向我咨询具体维权流程。