结论前置：在基层法院一审判决生效后，原告若需增加连带责任人，一般不能直接在原生效判决基础上追加，而需通过另行起诉的方式实现。以下是具体分析：

1. 生效判决的既判力与追加当事人的限制
   根据《民事诉讼法》及相关司法解释，生效判决具有既判力，即判决内容对当事人及法院具有约束力，非经法定程序（如再审）不得随意变更。若原告在原判决生效后发现遗漏连带责任人，因原诉讼程序已终结，无法直接通过追加当事人的方式（如《民事诉讼法》第135条的诉讼中追加）将新责任人纳入原判决。此时，原告需另行提起诉讼，以新诉讼的独立程序主张权利。

2. 另行起诉的法律依据与程序
   原告可依据《民法典》中关于连带责任的规定（如第178条“二人以上依法承担连带责任的，权利人有权请求部分或者全部连带责任人承担责任”），以新发现的连带责任人为被告，向有管辖权的法院（通常为被告住所地或侵权行为地基层法院）提起民事诉讼。起诉时需提交起诉状、证据材料（如证明连带责任关系的合同、侵权事实等），并缴纳诉讼费。法院将依法审理，若认定新被告确需承担连带责任，会作出独立判决。

3. 与原判决的协调问题
   若原判决已执行完毕，原告通过新诉讼获得对连带责任人的判决后，可能面临执行衔接问题。例如，若原判决债务已清偿，新判决可能因“一事不再理”原则被驳回；若原判决未完全执行，原告可依据新判决申请对连带责任人强制执行，但需注意执行标的总额不得超过原债务范围，避免重复获偿。

4. 实务建议

   • 证据固定：在另行起诉前，务必收集能证明新被告与原债务存在连带关系的证据（如共同侵权行为、保证合同等），避免因证据不足败诉。
     
   • 时效审查：检查追加连带责任人的请求是否超过诉讼时效（通常为3年，自知道或应当知道权利受损之日起算），若超期可能丧失胜诉权。
     
   • 执行策略：若原判决未执行完毕，可考虑在新诉讼中申请财产保全，冻结连带责任人的财产，为后续执行提供保障。
     

总结：原告需通过另行起诉的方式追加连带责任人，程序上独立于原判决，但需注意证据、时效及执行协调问题。如有具体案件细节（如连带责任类型、原判决执行情况等），可进一步向我咨询，我将结合实务经验提供针对性方案。