判决生效后，连带责任人履行后追偿，并非必须向做出判决的法院起诉，但向原判决法院起诉通常更为便捷高效。以下从不同角度为你详细分析：

从法律规定角度

我国法律并未明确规定连带责任人履行后追偿必须向做出原判决的法院起诉。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，对公民提起的民事诉讼，由被告住所地人民法院管辖；被告住所地与经常居住地不一致的，由经常居住地人民法院管辖。对法人或者其他组织提起的民事诉讼，由被告住所地人民法院管辖。同一诉讼的几个被告住所地、经常居住地在两个以上人民法院辖区的，各该人民法院都有管辖权。所以，从一般地域管辖原则来看，连带责任人履行后追偿，可以选择向有管辖权的法院起诉，这个有管辖权的法院不一定是做出原判决的法院。

不过，如果原判决法院对案件情况更为熟悉，了解各连带责任人之间的责任划分、履行情况等关键信息，那么在该法院起诉追偿，有利于法院快速准确地审理案件，提高诉讼效率。例如，在一个涉及多个连带责任人的合同纠纷案件中，原判决法院已经对各方的责任比例、应承担的债务金额等进行了详细认定，当其中一个连带责任人履行完债务后向其他责任人追偿时，原判决法院基于之前对案件的深入了解，能够更迅速地梳理清楚追偿的法律依据和具体金额，减少重复调查取证的工作。

从实际操作角度

1. 选择原判决法院：如果选择向做出原判决的法院起诉追偿，在程序上可能会相对简便一些。因为原判决法院已经对案件的基本事实和法律关系有了清晰的认定，在追偿案件中可以参考之前的审理结果，避免重复认定一些基本事实。而且，原判决法院的法官对案件背景更为了解，在审理追偿案件时能够更准确地把握争议焦点，提高审判质量。比如，在上述合同纠纷案例中，原判决法院已经确定了各连带责任人的责任份额，在追偿案件中，法院可以直接依据原判决来确定追偿的范围和比例，无需再次进行复杂的责任划分。
2. 选择其他有管辖权的法院：如果存在一些特殊情况，比如原判决法院所在地距离追偿方较远，诉讼成本较高，或者追偿方认为其他有管辖权的法院在处理类似案件上更有经验等，那么追偿方也可以选择向其他有管辖权的法院起诉。例如，追偿方所在地法院在处理追偿纠纷方面有专门的审判团队，积累了丰富的经验，能够更高效地解决纠纷，此时追偿方就可以考虑向当地法院起诉。

法律建议

在实际操作中，连带责任人在履行完债务后进行追偿时，需要综合考虑各种因素来选择起诉法院。如果希望诉讼过程更加便捷高效，且原判决法院对案件情况熟悉，那么建议优先选择向做出原判决的法院起诉；如果存在其他特殊情况，如诉讼成本、法院经验等因素更为重要，那么也可以选择向其他有管辖权的法院起诉。

如果你在债务债权方面还有其他疑问，或者遇到了具体的法律问题，都可以直接向我咨询，我会为你提供专业、全面的法律解答。