生效判决的连带责任人代偿债务后，可以通过提起追偿权诉讼的方式向债务人追偿。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、追偿权诉讼的法律依据
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，连带责任人承担责任后，有权向债务人追偿。这是追偿权诉讼的法律依据。当连带责任人按照生效判决代偿了债务人的债务后，即取得了向债务人追偿的权利。
二、追偿权诉讼的程序
准备诉讼材料：
- 连带责任人需要准备代偿债务的证据，如支付凭证、生效判决书等。
- 还需要准备债务人的身份信息、联系方式等，以便法院能够联系到债务人。
向法院提起诉讼：
- 连带责任人应向有管辖权的法院提起诉讼，通常是被告（即债务人）住所地或者合同履行地的法院。
- 提交起诉状，明确诉讼请求、事实和理由，并附上相关证据材料。
法院审理与判决：
- 法院在受理案件后，会进行审理，查明事实，分清责任。
- 如果法院认定连带责任人的追偿权成立，会作出判决，要求债务人偿还代偿的债务。
执行判决：
- 如果债务人未在判决规定的期限内履行还款义务，连带责任人可以向法院申请强制执行。
- 法院会采取相应的执行措施，如查封、扣押、拍卖债务人的财产等，以实现连带责任人的追偿权。
三、追偿权诉讼的注意事项
及时行使追偿权：
- 连带责任人应在代偿债务后及时行使追偿权，避免超过诉讼时效期间。根据法律规定，诉讼时效期间通常为三年，自知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。
保留相关证据：
- 连带责任人应妥善保管代偿债务的证据，如支付凭证、生效判决书等。这些证据是追偿权诉讼的关键，能够证明连带责任人已经代偿了债务人的债务。
考虑债务人的偿债能力：
- 在提起追偿权诉讼前，连带责任人应考虑债务人的偿债能力。如果债务人已经没有财产可供执行，那么即使胜诉也可能无法实现追偿权。因此，连带责任人可以在提起诉讼前对债务人的财产状况进行调查。
四、特殊情况下的处理
债务人破产：
- 如果债务人已经进入破产程序，连带责任人可以向破产管理人申报债权，参与破产财产的分配。在这种情况下，追偿权诉讼可能需要中止或者终止。
债务人下落不明：
- 如果债务人下落不明，连带责任人仍然可以向法院提起诉讼。法院在受理案件后，会依法进行公告送达，并缺席审理。如果判决连带责任人胜诉，且债务人仍未履行还款义务，连带责任人可以向法院申请强制执行，并采取公告悬赏等措施查找债务人的财产。
建议：在提起追偿权诉讼前，连带责任人应充分了解相关法律规定和诉讼程序，并咨询专业律师（即我本人，许玉旺律师，专注于经济纠纷、民间借贷领域）的意见。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。