不合法。针对您提出的问题，我从以下几个方面进行详细分析：

1. 未签订劳动合同：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。如果陪护公司未与您签订书面劳动合同，这违反了法律规定。
   • 未签订劳动合同，劳动者有权要求用人单位支付双倍工资作为赔偿，这是法律对用人单位未履行法定义务的一种惩罚性措施。

2. 未购买社会保险：

   • 同样根据《中华人民共和国劳动合同法》以及《中华人民共和国社会保险法》的相关规定，用人单位应当为劳动者缴纳社会保险费，包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险。
   • 如果陪护公司未为您购买社会保险，这同样违反了法律规定。您有权要求用人单位为您补缴社会保险费，并可能因此获得相应的赔偿或补偿。

建议与行动：

• 首先，您可以尝试与陪护公司进行沟通，要求其签订书面劳动合同并为您购买社会保险。
• 如果沟通无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，寻求政府的帮助和介入。
• 您还可以考虑通过法律途径维护自己的权益，比如向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼。

在处理此类问题时，请务必保留好相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以便在需要时证明您的劳动关系和权益受损情况。如果您还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。