结论：即使出生证明上不是母亲（或未明确父亲）的名字，但只要能证明孩子与父亲之间的亲子关系，孩子依然有权通过法律途径起诉父亲要求支付抚养费。

分析：

1. 法律依据：

   • 根据我国相关法律规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，这包括被抚养的权利。父母对子女有抚养教育的义务，不因婚姻关系的存在与否而改变。因此，无论父母是否结婚，只要确定了孩子的生父或生母，他们都有责任支付抚养费。

2. 确定亲子关系：

   • 关键在于证明男方与孩子之间存在亲子关系。这可以通过多种方式实现，如双方协商确认并签订协议、进行亲子鉴定等。亲子鉴定是一种科学、准确的方法，能够直接证明亲子关系。如果男方不承认亲子关系，女方可以向法院起诉并申请进行亲子鉴定。

3. 收集证据：

   • 除了亲子鉴定结果外，还可以收集并保存好其他相关证据，如孩子的出生证明（即使上面没有父亲的名字，也可以作为孩子出生的证据）、父亲的身份信息、能证明父亲与孩子关系的其他材料（如照片、视频、证人证言等）。这些证据将有助于增强诉讼的说服力。

4. 法律程序：

   • 在收集到足够证据后，女方可以寻求专业律师的帮助来准备法律文件，并通过合适的法律途径提起诉讼。法院将会审理此案，并根据实际情况（包括孩子的实际需要、男方的负担能力和当地的实际生活水平等因素）判决男方应支付的抚养费金额。

5. 可能的法律后果：

   • 如果法院判决男方支付抚养费，而男方拒不履行，女方可以申请法院强制执行。法院有权采取多种措施来强制男方履行义务，如查封、扣押、拍卖男方的财产等。

建议：

• 如果您面临这样的情况，建议首先尝试与男方协商解决，看是否能够达成一致意见并签订协议。
• 如果协商无果，您可以考虑进行亲子鉴定以证明亲子关系，并收集好其他相关证据。
• 最后，您可以寻求专业律师的帮助来提起诉讼，维护孩子的合法权益。

在整个过程中，如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况提供个性化的法律建议。