结论：公司签约兼职司机时，是否需要司机开发票，需根据具体情况判断，主要取决于双方的法律关系及税务处理要求。以下分情况说明：

1. 若兼职司机与公司构成劳动关系

• 税务处理：根据《个人所得税法》及实施条例，若司机与公司签订劳动合同，形成劳动关系，则公司需按“工资、薪金所得”代扣代缴个人所得税。此时，司机无需自行开具发票，公司应通过工资表等内部凭证进行税务处理。
• 风险提示：若公司错误要求司机开具发票，可能被税务机关认定为“变相发放工资未履行代扣代缴义务”，面临补缴税款、滞纳金及罚款风险。

2. 若兼职司机与公司构成劳务关系

• 税务处理：根据《个人所得税法》第六条，劳务报酬所得需由支付方（公司）预扣预缴个人所得税。此时，司机需向公司提供合法发票作为税前扣除凭证，否则公司可能无法在企业所得税前扣除该笔费用。
• 操作建议：
  • 司机可到税务机关代开发票（需提供身份证、劳务合同等材料）；
  • 若单次劳务金额不超过500元，可依据《企业所得税税前扣除凭证管理办法》第九条，以内部凭证（如收据）作为税前扣除依据，但需满足“小额零星经营业务”条件。

3. 若兼职司机为个体工商户或个人独资企业

• 税务处理：若司机以个体工商户或个人独资企业名义提供服务，公司需取得其开具的增值税发票（普通发票或专用发票）作为税前扣除凭证。此时，司机需按经营所得缴纳个人所得税，公司无需代扣代缴。
• 风险提示：公司需核实司机是否具备合法经营资质，避免因接受“虚开发票”被牵连。

合规建议

1. 明确法律关系：在合同中明确约定双方为劳动关系、劳务关系还是承揽关系，避免模糊表述。
2. 完善凭证管理：根据法律关系选择适当的税前扣除凭证（工资表、发票、收据等），并留存备查。
3. 税务合规审查：定期自查税务处理是否符合《税收征收管理法》及税法规定，降低税务风险。

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合具体合同条款及业务模式提供详细分析。