医院未按时间组织竞聘中层干部，员工可依法维权。针对这一问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

一. 医院的行为是否构成违约

1. 合同依据：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同中应明确工作内容、工作地点、工作时间等条款。若医院与中层干部的聘用合同中明确规定了聘期及竞聘时间，医院未按约定时间组织竞聘，则可能构成违约。
2. 实际影响：医院未按时组织竞聘，可能导致中层干部无法续聘或晋升，进而影响其职业发展及薪资待遇，因此，此行为对员工产生了实际的不利影响。

二. 员工的维权途径

1. 协商：首先，建议员工与医院的人事部门或相关领导进行沟通，了解未按时组织竞聘的具体原因，并表达自身的诉求和关切，尝试通过协商解决问题。
2. 投诉：若协商无果，员工可以向医院的上级主管部门或监管部门进行投诉，反映医院未按时组织竞聘的问题，请求介入调查并督促医院履行合同约定。
3. 法律途径：在协商和投诉均无法解决问题的情况下，员工可以依据《劳动合同法》等相关法律法规，向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请，要求医院承担违约责任并赔偿因此造成的损失。若仲裁结果仍不满意，还可以进一步向人民法院提起诉讼。

三. 维权时的注意事项

1. 证据收集：在维权过程中，员工应注意收集相关证据，如聘用合同、竞聘通知、沟通记录等，以证明医院未按时组织竞聘的事实及自身因此受到的损失。
2. 法律咨询：在提起仲裁或诉讼前，建议员工咨询专业律师，了解具体的法律程序和维权策略，以提高维权的成功率。

我建议，员工在维权过程中应保持冷静和理性，依法依规进行维权。同时，医院也应加强内部管理，严格遵守合同约定和法律法规，维护员工的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。