在司机单方事故全责且死亡的情况下，雇主是否承担责任及追偿责任的大小，需依据事故发生时司机是否在执行职务、雇主是否履行了安全保障义务以及司机本人是否存在故意或重大过失等因素综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一、基本责任原则
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，雇员在从事雇佣活动中受到损害，雇主应当承担赔偿责任。这一原则同样适用于司机在从事雇佣活动过程中因交通事故死亡且负全责的情况。但雇主的责任并非无条件，而是基于多种因素的综合考量。
二、责任判定依据
是否执行工作任务：
- 若司机是在执行雇佣工作任务过程中发生交通事故并死亡，雇主通常需承担主要赔偿责任。赔偿范围可能包括医疗费（如抢救费用）、丧葬费、死亡赔偿金等合理费用。此时，若司机不存在故意或重大过失，雇主的责任相对更重；若司机存在故意或重大过失，雇主在承担侵权责任后，有权向司机进行追偿，但雇主仍需承担一定比例的责任（具体比例需根据案件实际情况判断，可能为30%-50%）。
- 若司机并非在执行工作任务期间发生事故，雇主一般无需承担责任。但存在特殊情况，如车辆管理存在过错（如明知车辆存在缺陷却未采取措施）等，此时雇主可能根据其过错程度承担较小比例（如10%-20%）的赔偿责任。
司机的过失程度：
- 司机的过失程度直接影响雇主的责任大小。若司机存在故意或重大过失（如酒驾、超速等严重违反交通规则的行为），雇主的责任可能会相应减轻。但即便如此，雇主仍需承担一定比例的赔偿责任，因为雇主有义务确保其雇员在工作中的人身安全。
雇主是否履行安全保障义务：
- 雇主有义务为雇员提供安全的工作环境，包括确保车辆的安全性能、要求司机遵守交通规则等。若雇主未能履行这些义务，导致事故发生，雇主需承担相应责任。例如，若雇主明知车辆存在制动系统故障却未进行维修，导致司机在行驶过程中发生事故，雇主需承担一定责任。
是否存在第三人的责任：
- 若司机的死亡是由第三人造成的，并且第三人承担全部责任，雇主在赔偿后有权向第三人追偿。这通常发生在多车相撞等复杂交通事故中，其中一方司机（第三人）的过错是导致事故发生的主要原因。
三、赔偿内容
雇主需要承担的赔偿责任通常包括但不限于：
- 丧葬补助金：按照受诉法院所在地上一年度职工月平均工资标准，以六个月总额计算。
- 供养亲属抚恤金：根据死者生前供养的亲属人数和供养情况确定。
- 一次性工亡补助金：按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或农村居民人均纯收入标准，按二十年计算（六十周岁以上的，年龄每增加一岁减少一年；七十五周岁以上的，按五年计算）。
四、特殊情况处理
- 车辆存在问题：若车辆本身存在缺陷，且该缺陷是导致事故发生的原因之一，同时雇主对车辆缺陷有明知或应当明知却未采取措施的情况，雇主需承担相应责任。例如，若雇主明知车辆轮胎磨损严重却未更换，导致司机在行驶过程中发生爆胎事故，雇主需承担一定责任。
- 赔偿方式：雇主可以直接赔偿给司机家属。若雇主为司机投保了相关商业保险（如雇主责任险等），则先由保险公司在保险限额内进行赔偿，超出部分再由雇主承担。这有助于减轻雇主的赔偿负担。
五、建议与总结
面对此类问题，建议雇主和司机家属都保持冷静和理性，通过合法途径解决纠纷。雇主应积极配合调查，提供必要的证据和资料；司机家属也应依法维权，避免采取过激行为。在处理此类问题时，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更为详细和准确的法律建议。