结论前置：

1. 若公司规章制度或劳动合同中有明确规定离职需提前申请：则离职当天知道要提前半个月申请是合理的，但公司需证明已将该规定告知员工。
2. 若公司规章制度或劳动合同中无明确规定：则公司要求离职需提前半个月申请可能不合理，员工有权随时提出离职。

详细分析：

首先，我们需要明确的是，员工离职的相关规定通常会在公司的规章制度或劳动合同中有所体现。这些规定是公司与员工之间约定的权利与义务，对双方都具有约束力。

情况一：公司规章制度或劳动合同中有明确规定

如果公司的规章制度或劳动合同中明确规定了员工离职需要提前申请，并且这一规定是合法、合理的，那么员工在离职时就需要遵守这一规定。在这种情况下，如果员工在离职当天才知道需要提前半个月申请，而公司又能证明这一规定已经通过合理的方式（如员工手册、入职培训等）告知了员工，那么公司的要求就是合理的。员工应当按照规定提前申请离职，否则可能会面临违约责任或其他不利后果。

情况二：公司规章制度或劳动合同中无明确规定

如果公司的规章制度或劳动合同中没有明确规定员工离职需要提前申请，或者规定不明确、不合理，那么公司要求员工离职需提前半个月申请就可能缺乏法律依据。在这种情况下，员工有权随时提出离职，而不需要提前申请。当然，为了维护良好的劳动关系和避免不必要的纠纷，员工在离职前最好还是与公司进行沟通协商，尽量达成一致意见。

额外建议：

• 对于员工而言，在入职时应当仔细阅读公司的规章制度和劳动合同，了解自己的权利和义务。如果发现其中存在不合理或违法的规定，应当及时向公司提出异议或寻求法律帮助。
• 对于公司而言，在制定规章制度和劳动合同时应当遵循合法、合理、公平的原则，确保规定的内容既符合法律法规的要求，又能体现对员工的尊重和关怀。同时，公司还应当通过合理的方式将规章制度和劳动合同的内容告知员工，确保员工了解并遵守相关规定。

可能涉及的法律后果：

• 如果员工未按照公司规定提前申请离职，且公司能够证明这一规定已经告知员工，那么员工可能会面临违约责任或其他不利后果，如扣除工资、奖金等。
• 如果公司要求员工离职需提前申请的规定缺乏法律依据或不合理，员工有权拒绝遵守，并可以向劳动监察部门投诉或寻求法律帮助。

总结：

未签合同但离职当天知道要提前半个月申请是否合理，取决于公司的规章制度或劳动合同中是否有明确规定。如果有规定且合法合理，则员工需要遵守；如果没有规定或规定不明确不合理，则员工有权随时提出离职。在处理此类问题时，建议员工和公司都保持冷静和理性，通过沟通协商解决问题。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。