面对补课老师违规非法补课且拒绝退费的情况，您可以按照以下步骤来维护自己的合法权益：

一、收集证据

首先，您需要收集所有与补课相关的证据，包括但不限于：

• 补课合同或协议（如果有的话）
• 付款凭证，如发票、转账记录等
• 与补课老师的沟通记录，包括短信、微信、邮件等
• 任何能证明补课老师违规非法补课的证据，如补课时间、地点、内容等不符合教育部门规定的记录

二、尝试协商

在收集好证据后，您可以尝试与补课老师进行协商，明确指出其违规非法补课的行为，并要求按照合同或协议退还费用。在协商过程中，务必保持冷静和理性，避免情绪化的冲突。

三、向相关部门投诉

如果协商无果，您可以向以下部门投诉：

1. 教育部门：由于补课老师可能涉及违规非法补课，您可以向当地教育部门投诉，说明情况并提供相关证据。教育部门会对此进行调查，并根据调查结果采取相应的措施。

2. 市场监督管理部门：如果补课老师的收费行为存在价格欺诈、不合理收费等情况，您可以向市场监督管理部门投诉。该部门有权对市场经营行为进行监管，并依法对违规行为进行查处。

3. 消费者协会：作为维护消费者权益的组织，消费者协会可以介入调解。您可以拨打12315热线或前往消协办公地点投诉，消协会根据您提供的信息与补课老师沟通，推动双方协商解决退费纠纷。

四、考虑法律途径

如果以上途径均无法解决问题，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。具体来说：

1. 申请仲裁：如果补课合同中有仲裁条款，您可以按照合同约定向仲裁机构申请仲裁。仲裁裁决具有法律效力，如果补课老师拒不执行，您可以申请强制执行。

2. 提起诉讼：如果协商、投诉、仲裁均无果，您可以向补课老师所在地或合同履行地的基层人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要准备起诉状、相关证据材料，并参加庭审。如果判决补课老师退费而其拒不执行，您可以申请强制执行。

五、注意事项

在整个维权过程中，您务必妥善保留所有关键证据，包括往来邮件、通话录音、缴费收据、合同等。同时，也要注意诉讼时效的问题，一般来说，诉讼时效期间为三年，自您知道或应当知道权利受到损害之日起计算。因此，请及时采取行动以免丧失胜诉权。

希望以上建议能对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。