针对您遇到的“没有营业执照的补课老师不退款”的问题，这确实是一个比较棘手的情况，但您仍然可以通过一系列合法途径来维护自己的权益。以下是一些详细的建议，希望能对您有所帮助：
一、保留证据
首先，您需要尽可能多地收集并保留所有与这位补课老师之间的通信记录，包括但不限于电话记录、短信、邮件、微信聊天记录等。同时，也要保存好所有与培训课程相关的资料，如课程安排、付款凭证、收据或发票等。这些证据将在后续的维权过程中起到至关重要的作用。
二、尝试沟通
在保留好证据之后，您可以尝试与这位补课老师进行沟通，明确表达您的退款诉求，并告知他们拒不退费的后果和可能存在的欺诈行为。在沟通过程中，保持冷静和理性，尽量以事实为依据，以法律为准绳，表明自己的立场和决心。
三、联系相关部门
教育局：由于这位补课老师没有营业执照，属于非法办学，您可以向当地的教育局投诉。提供相关的证据和信息，教育局会帮助您核实是否存在欺诈行为，并可能采取相应的行动。
市场监督管理局：您也可以向当地的市场监督管理局投诉，反映这位补课老师的非法经营行为。市场监督管理局有权对非法经营行为进行查处，并可能要求其退还您的费用。
消费者协会：向消费者协会反映情况，寻求他们的帮助和支持。消费者协会可以为您提供法律咨询和维权指导，并可能协助您与补课老师进行协商或调解。
四、法律途径
如果以上途径均无法解决问题，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。具体来说：
起诉：根据《中华人民共和国民法典》的规定，您有权要求解除合同并要求退款。如果协商不成，您可以向法院提起诉讼，要求补课老师退还您的费用，并可能要求其承担违约责任或赔偿损失。
报警：如果这位补课老师的行为涉嫌诈骗或合同诈骗，您可以向公安机关报案。公安机关会介入调查取证，如果符合诈骗罪构成，将依法对其进行追赃和追诉刑事责任处理，这也有助于您追回损失。
五、注意事项
保持冷静：在维权过程中，保持冷静和理性至关重要。不要因为情绪激动而做出过激的行为或言论，以免给自己带来不必要的麻烦。
明确沟通渠道：与补课老师或相关部门沟通时，尽量通过书面形式或可记录的方式（如邮件、短信等）进行，以便留下证据。
保护个人信息：在维权过程中，注意保护自己的个人信息和隐私，避免泄露给不必要的人或机构。
总之，虽然遇到没有营业执照的补课老师不退款的情况比较棘手，但您仍然可以通过保留证据、尝试沟通、联系相关部门以及采取法律途径等方式来维护自己的权益。希望这些建议能对您有所帮助。