针对您提出的“公交急刹车导致乘客摔伤，交警认定第三方全责，我应向谁要赔偿”的问题，以下是我的详细解答：
一、责任主体分析
第三方责任：
- 既然交警已经认定第三方全责，那么根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，第三方应当承担主要的赔偿责任。这包括因第三方违规行为（如违规变道、追尾等）导致的公交车急刹车，进而造成乘客摔伤的情况。
公交公司责任：
- 虽然第三方被认定全责，但公交公司作为承运人，与乘客之间建立了客运合同关系。根据《中华人民共和国民法典》第八百二十三条，公交公司有责任确保乘客的安全，并将他们安全地送达目的地。在公交车行驶过程中，若因紧急情况（如为了躲避第三方违规行为）而急刹车导致乘客摔伤，公交公司可能基于客运合同承担一定的违约责任。不过，在这种情况下，公交公司在承担责任后有权向第三方追偿。
乘客自身责任：
- 如果乘客的摔伤是由于他们自身的原因造成的，比如在公交车行驶过程中未站稳、未扶好，或者在车厢内嬉戏打闹、随意走动等，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十三条，乘客自身可能需要承担一定的责任。但在此案例中，由于交警已认定第三方全责，乘客自身责任的可能性较小。
二、赔偿途径与建议
向第三方索赔：
- 您可以直接向第三方（即被交警认定全责的车辆或行为人）提出索赔要求。索赔范围可能包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费，以及可能的精神损害抚慰金等。
向公交公司索赔（基于客运合同）：
- 虽然第三方被认定全责，但您也可以基于与公交公司之间的客运合同关系，向公交公司提出索赔要求。公交公司在承担责任后，会向第三方追偿。不过，在实际操作中，为了更高效地解决赔偿问题，您可以选择直接向第三方索赔。
协商与诉讼：
- 在索赔过程中，您可以先尝试与第三方或公交公司进行协商，看是否能够达成赔偿协议。如果协商无果，您可以向法院提起民事诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
三、注意事项
- 及时报警并寻求医疗救助：在事故发生后，您应及时报警并寻求医疗救助，确保自己的伤情得到及时治疗。
- 收集相关证据：为了支持自己的索赔主张，您应收集相关证据，如监控录像、证人证言、医疗记录等。
- 咨询专业律师：在处理此类事故时，由于涉及法律条款和赔偿计算等复杂问题，我建议您咨询专业律师以获取更准确的法律建议。当然，您可以直接向我咨询，我会尽我所能为您提供帮助。
综上所述，虽然交警已认定第三方全责，但您在索赔时仍需考虑公交公司可能基于客运合同承担的违约责任。不过，在实际操作中，为了更高效地解决赔偿问题，您可以选择直接向第三方索赔。如果需要进一步的法律帮助或咨询，请随时联系我。