结论前置：

1. 用人单位未签劳动合同且未提前通知辞退，多数情况下不合法。
2. 您有权要求用人单位支付未提前通知的额外工资及经济补偿金。
3. 若用人单位拒绝补偿，您可向劳动仲裁委员会提起仲裁。

详细分析：

一、用人单位未签劳动合同且未提前通知辞退的合法性

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除劳动合同时，通常需要提前三十日以书面形式通知劳动者本人，或者在未提前通知的情况下额外支付劳动者一个月工资。这一规定旨在保障劳动者的合法权益，避免因突然解雇而给劳动者带来不必要的困扰和损失。

在您的情况下，用人单位既未与您签订劳动合同，又未提前通知便辞退了您，且不存在法定可以即时解除劳动合同的情形（如试用期间被证明不符合录用条件、严重违反规章制度等），那么这种行为很可能是违法的。

二、未提前通知辞退的补偿

对于未提前通知便辞退员工的情况，用人单位通常需要向劳动者支付一定的经济补偿。这种补偿通常包括两部分：

1. 因未提前通知而需额外支付的一个月工资：这是对劳动者因突然失业而可能遭受的损失的一种补偿。

2. 根据劳动者在用人单位工作的年限和工资水平，按照法定标准计算的经济补偿金：经济补偿金的计算通常与劳动者的工作年限和工资水平挂钩，具体标准可参照《劳动合同法》的相关规定。

   • 经济补偿金计算公式：\(经济补偿金 = 工作年限 \times 月工资\)（若月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年）。
   • 未提前通知额外工资：通常为一个月工资。

在您的情况下，由于您仅工作了一个星期，工作年限可能不足一个月，但您仍有权要求用人单位支付未提前通知的额外工资（即一个月工资）以及可能的经济补偿金（具体数额需根据您的实际工资水平和工作年限确定，但在此情况下，经济补偿金可能较少或不存在，因为工作年限很短）。不过，即使经济补偿金数额不大，用人单位未提前通知的额外工资支付义务是明确的。

三、可无需提前通知辞退的例外情况

虽然一般情况下用人单位需要提前通知劳动者或额外支付一个月工资才能解除劳动合同，但在某些特定情况下，用人单位可以无需提前通知便辞退员工。这些情况包括：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件的；
2. 严重违反用人单位的规章制度的；
3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
4. 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
5. 因《劳动合同法》第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；
6. 被依法追究刑事责任的。

在您的情况下，若不存在上述例外情形，用人单位则无权未经提前通知便辞退您。

四、维权建议

若用人单位拒绝进行补偿，您有权向劳动仲裁委员会提起仲裁，以维护自己的合法权益。在提起仲裁前，建议您收集好相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与用人单位存在劳动关系以及您的工作时间和工资水平。

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