老师把您家孩子手打青了，这种行为是违法的。以下从不同角度为您详细分析：

法律角度

1. 违反未成年人保护法：

   • 根据《中华人民共和国未成年人保护法》第二十一条，学校、幼儿园、托儿所的教职员工应当尊重未成年人的人格尊严，不得对未成年人实施体罚、变相体罚或者其他侮辱人格尊严的行为。老师打学生，导致孩子手部淤青，显然违反了这一规定。

2. 可能构成故意伤害：

   • 如果老师的行为造成了孩子身体上的伤害，且伤害程度达到一定程度（如轻伤以上），那么老师的行为可能构成故意伤害罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百四十三条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。当然，这需要根据具体的伤害程度和情节来判断。

处理方式

1. 向学校或教育部门投诉：

   • 您可以首先向学校领导或上级教育部门反映情况，要求他们对涉事老师进行调查和处理。学校和教育部门有责任保护学生的合法权益，对违反师德师风的老师进行严肃处理。

2. 要求行政处罚：

   • 如果学校和教育部门未能妥善处理此事，您可以向相关部门申请对涉事老师进行行政处罚。行政处罚可能包括警告、罚款、吊销教师资格证等。

3. 提起诉讼：

   • 如果老师的行为给您家孩子造成了严重的身体伤害或心理创伤，您还可以考虑向法院提起诉讼，要求老师承担民事赔偿责任，甚至追究其刑事责任。

后续建议

1. 关注孩子心理状况：

   • 除了身体上的伤害，孩子可能还会因为这次事件而受到心理上的创伤。建议您多关注孩子的心理状况，及时与孩子沟通，必要时可以寻求专业心理咨询师的帮助。

2. 保留证据：

   • 在处理此事的过程中，建议您保留好相关证据，如孩子受伤的照片、医疗记录、目击者证言等。这些证据将有助于您在后续的处理和诉讼中维护自己的合法权益。

作为家长，您有权保护孩子的合法权益不受侵害。如果老师的行为确实违反了法律或师德师风规定，您应该积极采取措施来维护孩子的权益。如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。