结论前置：若与第三方公司签订的固定期限合同到期后不想续聘，可依法不续签合同，但需注意合同类型、合同约定及法律规定，避免引发纠纷。以下是具体分析及操作建议：

1. 明确合同类型及约定

• 固定期限合同：若合同明确约定了期限（如一年一签），到期后合同自然终止，用人单位无需提前通知即可不续签。但需注意：
  • 经济补偿：根据《劳动合同法》第四十六条，除用人单位维持或提高条件续签而劳动者拒绝外，合同到期终止需支付经济补偿（按工作年限，每满一年支付一个月工资）。
  • 例外情形：若合同中约定“到期自动续签”或“需提前通知是否续签”，则需按约定履行，否则可能构成违约。
• 无固定期限合同：若因连续签订两次固定期限合同后，劳动者提出续签无固定期限合同，用人单位不得拒绝，否则需支付赔偿金（双倍经济补偿）。

2. 操作步骤

• 第一步：审查合同条款
  重点查看合同中关于“期限”“终止”“续签”的条款，确认是否有特殊约定（如自动续签、提前通知义务等）。
• 第二步：书面通知不续签
  即使合同无强制通知要求，建议以书面形式（如邮件、信函）告知对方不续签决定，保留送达证据（如签收记录），避免对方主张“未通知导致损失”。
• 第三步：办理工作交接
  若第三方公司已提供服务，需按合同约定或行业惯例办理交接，避免因交接不清引发纠纷。
• 第四步：支付经济补偿（如适用）
  若符合支付经济补偿的情形，需在合同终止时一次性支付，否则可能面临加付赔偿金的风险。

3. 风险防范

• 避免“事实劳动关系”：合同到期后未续签但继续用工的，可能被认定为事实劳动关系，需支付双倍工资差额。因此，若决定不续聘，应明确终止合作，避免继续接受服务。
• 注意行业特殊性：若第三方公司涉及特殊行业（如保安、清洁等），可能需遵守地方性法规对合同终止的限制（如提前通知期限）。
• 保留证据：整个过程中需保留合同、通知、交接记录等证据，以备纠纷时举证。

4. 争议解决

• 若第三方公司主张违约赔偿或拒绝交接，可先协商解决；协商不成，可依据合同中的仲裁条款或直接向法院起诉。

总结：合同到期不续聘是合法权利，但需严格遵循合同约定及法律规定，尤其是经济补偿和通知义务。如有复杂情形（如合同条款模糊、行业特殊要求），可直接向我咨询，我会结合具体案情提供解决方案。