结论：在员工提出离职期间又被查出营私舞弊，公司开除该员工是否合法，需根据具体情况判断，但若营私舞弊行为属实且严重违反公司规章制度或法律法规，公司开除员工通常是合法的。
一、营私舞弊行为的性质与后果
营私舞弊通常指的是员工利用职务之便，为自己或他人谋取私利，损害公司利益的行为。这种行为严重违反了职业道德和公司规章制度，甚至可能触犯法律法规。
违反公司规章制度：大多数公司都会在员工手册或规章制度中明确规定，禁止员工从事营私舞弊等损害公司利益的行为。一旦发现，公司有权依据规章制度对员工进行处罚，包括开除。
违反法律法规：如果营私舞弊行为涉及违法犯罪，如贪污、受贿、职务侵占等，那么员工将面临法律的制裁。在这种情况下，公司开除员工不仅是合法的，而且是必要的，以维护公司的合法权益和声誉。
二、员工提出离职期间的特殊性
员工提出离职后，虽然其与公司之间的劳动关系尚未正式解除，但员工已经表达了离职的意愿。然而，这并不意味着员工在离职前可以无视公司规章制度和法律法规，从事营私舞弊等行为。
离职前的义务：员工在离职前仍然需要履行其作为公司员工的义务，包括遵守公司规章制度、保守公司商业秘密等。如果员工在离职前从事营私舞弊行为，公司有权依据相关规定进行处罚。
离职程序的影响：员工提出离职后，公司需要按照一定的程序办理离职手续。如果在这个过程中发现员工存在营私舞弊行为，公司可以暂停或终止离职程序，并依据相关规定对员工进行处罚。
三、公司开除员工的合法性判断
规章制度依据：公司开除员工必须有明确的规章制度依据。如果公司规章制度中明确规定了营私舞弊行为的处罚措施，包括开除，那么公司开除员工就是合法的。
程序合法性：除了规章制度依据外，公司开除员工还需要遵循一定的程序。例如，公司需要事先通知员工并听取其陈述和申辩；如果涉及严重违纪行为，公司还需要将开除决定报请工会或职工代表大会同意等。只有程序合法，开除决定才具有法律效力。
证据充分性：公司开除员工还需要有充分的证据支持。如果公司无法提供足够的证据证明员工存在营私舞弊行为，那么开除决定可能会被认定为违法。
四、建议与注意事项
对于公司：在发现员工存在营私舞弊行为时，公司应及时收集证据并依据规章制度进行处罚。如果决定开除员工，应确保程序合法、证据充分，并咨询专业律师以避免法律风险。
对于员工：如果员工被公司开除并认为开除决定不合法，可以依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。在维权过程中，员工应提供充分的证据证明自己的清白或开除决定的不合法性。
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