当公司面临员工因未签订劳动合同而提起的诉讼或投诉时，可以采取以下详细且有条理的应对措施：
一、核实事实情况
确认未签合同的事实：
- 首先，公司需要核实是否确实存在未与员工签订书面劳动合同的情况。这可以通过查阅公司的人事档案、员工入职记录以及合同管理记录来完成。
分析未签原因：
- 若确实存在未签合同的情况，公司需要深入分析未签的原因。是因为行政流程的延误、疏忽，还是因为员工故意拖延不签？明确原因有助于公司制定更有效的应对策略。
二、根据时间节点采取相应措施
用工未满一个月：
- 如果员工在公司工作未满一个月，公司应尽快与员工补签劳动合同。在此情况下，公司一般无需承担额外的法律责任。
用工超过一个月不满一年：
- 如果员工在公司工作超过一个月但不满一年，根据《劳动合同法》的规定，公司需要向员工支付从第二个月起的双倍工资（最多11个月），并立即补签劳动合同。
用工超过一年：
- 如果员工在公司工作超过一年，根据法律规定，视为公司已与员工订立无固定期限劳动合同。此时，公司同样需要支付双倍工资，并补签无固定期限劳动合同。
三、与员工协商解决
表明诚意：
- 公司应主动与员工进行沟通，表明公司愿意积极解决问题的诚意。这有助于缓解双方的紧张关系，为后续的协商打下基础。
协商赔偿与补签：
- 在协商过程中，公司可以与员工就赔偿金额和补签合同的具体事宜进行讨论。尽量达成和解协议，以降低对公司的不利影响。
四、准备应对仲裁或诉讼
收集证据：
- 如果协商无果，公司需要准备应对可能的仲裁或诉讼。为此，公司应收集相关证据，如员工入职记录、工资支付凭证、工作证、考勤记录等，以证明公司与员工之间的劳动关系以及未签合同的具体情况。
提供免责事由：
- 在仲裁或诉讼过程中，公司可以尝试提供免责事由，如员工故意拖延不签合同等。如果能够提供充分的证据支持这一主张，公司可能无需承担支付双倍工资的法律责任。
积极参与程序：
- 无论仲裁还是诉讼，公司都应积极参与程序，提供证据支持己方主张，并反驳员工的不合理诉求。在法律框架内维护自身的合法权益。
五、关注后续影响与预防措施
关注后续影响：
- 即便之后补签了合同，公司在补签前的未签合同期间仍可能面临支付双倍工资差额的风险。此外，如果员工以未签合同为由解除劳动关系，公司或许还需支付经济补偿。因此，公司需要密切关注这些后续影响。
完善预防措施：
- 为了避免类似情况的再次发生，公司应完善人事管理制度和合同管理流程。确保在员工入职时及时签订书面劳动合同，并定期进行合同管理和审查。
综上所述，当公司面临员工因未签订劳动合同而提起的诉讼或投诉时，应核实事实情况、根据时间节点采取相应措施、与员工协商解决、准备应对仲裁或诉讼，并关注后续影响与预防措施。通过这些有条理的应对措施，公司可以有效地维护自身的合法权益并降低不利影响。