核心结论：未签劳动合同工作半个月被辞退，您有权主张未签书面合同的双倍工资差额（半个月工资）及违法解除的赔偿金（半个月工资），同时可要求结清全部工资。以下是具体分析：
一、未签劳动合同的法律后果
根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付双倍工资。
- 您的情形：工作半个月未签合同，虽未满1个月，但可主张用人单位存在未及时签合同的过错，后续若继续用工，从第2个月起可主张双倍工资。
- 当前权益：可要求用人单位补签合同，并保留要求后续双倍工资的权利。
二、被辞退的合法性及赔偿
若用人单位违法解除（如无合法理由辞退）：
- 根据《劳动合同法》第47、87条，您可主张赔偿金，标准为经济补偿金的2倍。
- 计算方式：工作不满6个月的，经济补偿金为半个月工资，赔偿金即为1个月工资（但实践中，因您工作仅半个月，部分地区可能支持半个月工资作为赔偿，需结合地方规定）。
- 例外：若用人单位能证明您存在严重违纪等合法解除情形（如试用期不符合录用条件），则无需支付赔偿。
若用人单位合法解除（如试用期不符合条件）：
- 需满足以下条件：
- 合同中明确约定了试用期（未签合同则无试用期）；
- 用人单位能证明您不符合录用条件（如提供考核记录等）；
- 在试用期内通知解除。
- 您的情形：未签合同，试用期不成立，用人单位可能构成违法解除。
三、工资结算义务
根据《工资支付暂行规定》第9条，劳动关系解除时，用人单位应一次性结清工资。您有权要求用人单位立即支付全部工作期间的工资。
四、维权步骤建议
- 收集证据：
- 工作证明：工牌、考勤记录、工资条、同事证言、工作群聊天记录等；
- 辞退证明：辞退通知、录音、聊天记录等。
- 协商解决：与用人单位沟通，要求支付工资、赔偿金及补签合同（若继续用工）。
- 投诉举报：向当地劳动监察大队投诉（电话：12333），要求查处未签合同、拖欠工资等违法行为。
- 申请仲裁：若协商无果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张工资、赔偿金及双倍工资差额（后续期间）。
温馨提示：实践中，部分地区对短期用工的赔偿标准可能存在差异，建议根据当地规定主张权益。如有疑问，可进一步向我咨询具体细节。