结论：短期农民工以工厂机器计件承包生产，自行管理且不考勤不管理的情况下，是否构成劳动关系需根据具体情况判断，但通常此类模式更倾向于认定为承揽关系而非劳动关系。不过，若存在特定情形，仍可能被认定为劳动关系。
一、通常情况下的法律关系认定
承揽关系特征：
- 承揽关系中，承揽人按照定作人的要求完成工作，交付工作成果，定作人支付报酬。
- 承揽人通常自行管理、自行安排工作时间和方式，不接受定作人的考勤和管理。
- 在您描述的情况下，短期农民工以计件方式承包生产，自行管理且不考勤不管理，这符合承揽关系的基本特征。
劳动关系与承揽关系的区别：
- 劳动关系中，劳动者与用人单位之间存在人身依附性，劳动者需接受用人单位的管理和指挥。
- 承揽关系中，承揽人与定作人之间是平等的民事法律关系，不存在人身依附性。
二、可能构成劳动关系的特定情形
尽管上述模式通常被认定为承揽关系，但在以下特定情形下，仍可能被认定为劳动关系：
用人单位对工作过程的实质控制：
- 如果用人单位虽然不直接考勤，但对农民工的工作过程进行了实质性的控制和管理，如规定工作时间、工作地点、工作方式等，则可能构成劳动关系。
报酬支付方式的特殊性：
- 如果用人单位不是按照工作成果支付报酬，而是按照工作时间或工作量定期支付工资，且这种支付方式具有持续性，则可能构成劳动关系。
劳动者对用人单位的依赖性：
- 如果农民工在经济上、生活上对用人单位存在较强的依赖性，如用人单位提供住宿、餐饮等生活条件，或者农民工的主要收入来源依赖于该用人单位，则可能构成劳动关系。
三、法律建议
明确合同性质：
- 在签订合同时，应明确合同是承揽合同还是劳动合同，以避免后续纠纷。
- 如果希望避免劳动关系，应在合同中明确双方的权利义务，强调承揽关系的特征。
保留相关证据：
- 无论是承揽关系还是劳动关系，都应保留相关证据，如合同、工作记录、报酬支付凭证等。
- 这些证据在后续纠纷解决中可能起到关键作用。
寻求法律帮助：
- 如果对合同性质或法律关系存在疑问，应及时寻求法律帮助。
- 我有丰富的劳动纠纷处理经验，可以为您提供专业的法律咨询和帮助。
四、可能的法律后果
如果认定为承揽关系：
- 双方应按照承揽合同的约定履行义务，享受权利。
- 如果发生纠纷，应通过民事诉讼途径解决。
如果认定为劳动关系：
- 双方应按照劳动法的规定履行义务，享受权利。
- 如果发生纠纷，应先通过劳动仲裁途径解决，对仲裁结果不服的，可以提起民事诉讼。
总结：短期农民工以工厂机器计件承包生产，自行管理且不考勤不管理的情况下，是否构成劳动关系需根据具体情况判断。在签订合同时，应明确合同性质，并保留相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。