结论：劳动合同的签订周期通常由用人单位与劳动者协商确定，但按季度签订劳动合同的做法并不常见，且需符合相关法律法规的规定。针对您的情况，以下是从不同角度进行的分析和建议。
一、劳动合同的签订周期
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同的期限可以由用人单位与劳动者协商确定，可以是固定期限、无固定期限或以完成一定工作任务为期限的劳动合同。
- 法律并未明确规定劳动合同必须按何种周期（如月、季、年）签订，因此按季度签订劳动合同在法律上并不被禁止。
实践做法：
- 在实践中，劳动合同的签订周期通常根据用人单位的实际情况和劳动者的需求来确定。常见的签订周期有1年、3年等，但按季度签订的做法并不普遍。
- 按季度签订劳动合同可能给用人单位和劳动者带来一定的不便，如频繁签订合同、管理成本增加等。
二、针对您情况的分析
合同到期与续签：
- 您的劳动合同原定于7月到期，但现已9月，公司表示合同是按季度签订的。这可能意味着公司在合同到期后未及时与您续签，而是以季度为单位进行后续合同的签订。
- 如果公司在合同到期后未与您解除劳动关系，且您继续为公司提供劳动，那么根据法律规定，公司应支付您双倍工资作为未签订书面劳动合同的赔偿（但需注意，这一规定可能因地区和具体案情而有所不同，且有一定时间限制）。
公司的做法是否合法：
- 按季度签订劳动合同本身并不违法，但公司需确保在每次合同到期前与劳动者协商并续签合同，或至少在合同到期后及时与劳动者沟通并明确后续劳动关系。
- 如果公司未能在合同到期后及时与您续签或沟通，导致您处于无合同状态但继续提供劳动，那么公司的做法可能存在问题，您有权要求公司支付相应的赔偿。
三、建议与措施
与公司沟通：
- 首先，建议您与公司进行沟通，了解公司按季度签订劳动合同的具体原因和后续安排。
- 要求公司明确您的劳动关系状态，并尽快签订新的书面劳动合同。
保留证据：
- 在沟通过程中，建议您保留相关证据，如聊天记录、邮件往来等，以备不时之需。
- 如果公司拒绝与您签订书面劳动合同或拒绝支付相应赔偿，您可以考虑通过法律途径维护自己的权益。
寻求法律帮助：
- 如果您在与公司沟通或维权过程中遇到困难，可以向我咨询或寻求其他专业律师的法律帮助。
- 我将根据您的具体情况和当地法律法规，为您提供专业的法律建议和维权方案。
最后，劳动合同的签订周期应由用人单位与劳动者协商确定，但需符合相关法律法规的规定。针对您的情况，我建议您与公司进行沟通并明确劳动关系状态，同时保留相关证据以备不时之需。如有需要，您可以随时向我咨询法律问题。