结论前置：以起诉要求支付抚养费的名义，一般不能直接要求对方配合补办小孩出生证明，但可通过其他法律途径要求对方配合补办。

1. 抚养费诉讼与补办出生证明的关系
   抚养费诉讼的核心是解决未成年子女的抚养费用问题，依据《民法典》第1067条，父母不履行抚养义务时，未成年子女有权要求支付抚养费。而补办出生证明属于行政登记事项，依据《出生医学证明管理办法》，补办需由父母双方或监护人向原签发机构申请，并提交相关材料（如身份证、户口本、亲子关系证明等）。
   关键点：抚养费诉讼与补办出生证明是两个独立的法律程序，前者属于民事诉讼，后者属于行政登记，二者无直接关联。因此，在抚养费诉讼中，法院通常不会直接处理补办出生证明的请求。

2. 如何要求对方配合补办出生证明
   若对方拒绝配合补办出生证明，可通过以下途径解决：

   • 协商解决：与对方沟通，说明补办出生证明对子女入学、落户等的重要性，争取对方配合。
     
   • 行政投诉：向当地卫生健康部门或出生证明签发机构反映情况，请求协助协调。
     
   • 另行起诉：若对方拒不配合且协商无果，可依据《民法典》第1084条（父母对子女的权利义务），以“侵害子女合法权益”为由，向法院起诉要求对方履行配合义务。法院可依据具体情况，判决对方配合补办。
     关键点：补办出生证明需双方配合，若对方拒绝，可通过行政或司法途径间接解决，而非在抚养费诉讼中直接主张。

3. 实务建议

   • 同步推进：在起诉要求支付抚养费的同时，可单独向卫生健康部门申请补办出生证明，并留存对方拒不配合的证据（如聊天记录、书面拒绝等），为后续可能的诉讼做准备。
     
   • 证据固定：若对方拒绝配合，需收集能证明亲子关系的材料（如亲子鉴定报告、既往出生证明存根等），以便在行政或司法程序中证明补办的必要性。
     

总结：抚养费诉讼与补办出生证明无直接关联，但可通过协商、行政投诉或另行起诉的方式要求对方配合。若有具体问题，可进一步向我咨询。