您好，非常理解您在起诉要求抚养费时遇到没有出生证明这一难题的困扰。虽然出生证明是确认亲子关系和主张抚养费的重要证据之一，但并非唯一途径。以下是一些建议，希望能帮助您解决这个问题：

一、收集其他证据

1. 医疗记录：如您提到的住院病例、入院记录、分娩记录等，这些记录中可能包含孩子的出生信息以及与您（或孩子父亲）相关的联系信息。

2. 亲子关系证明材料：

   • 亲子鉴定：虽然您提到没有出生证明，但如果可能的话，进行亲子鉴定是最直接、最有力的证据。您可以联系专业的亲子鉴定机构进行鉴定。
   • 其他间接证据：如孩子父亲在孩子出生前后的行为表现（如陪伴、照顾、支付费用等）、通信记录（如短信、微信、邮件等）中提及孩子或亲子关系的言论、共同生活的照片或视频等。

3. 证人证言：如果有了解您和孩子父亲关系以及孩子出生情况的亲友，他们的证言也可以作为辅助证据。

二、申请法院调取证据

如果上述证据您难以自行获取，可以向法院提出申请，请求法院调取相关证据。例如，您可以申请法院调取医院保存的出生医学证明存根（如果医院有保存的话）、分娩记录等。根据您提供的参考信息，法院在审理类似案件时，曾依法调取了医院的相关证据，并据此作出了判决。

三、依据法律规定主张权利

根据《中华人民共和国民法典》及其相关司法解释，无论婚生子女还是非婚生子女，父母均应履行相应的抚养义务。在面临亲子关系争议时，如果申请确认亲子关系的一方已经提交了较为充足的证据证明亲子关系存在，而拒绝配合亲子鉴定的一方在没有提出反证的情况下，法院可以依法推定亲子关系成立，并判令其支付抚养费。

四、具体操作建议

1. 咨询律师：在起诉前，建议您咨询专业律师，了解具体的法律程序和证据要求，以便更好地准备案件。

2. 准备起诉材料：根据律师的建议，准备起诉状、证据清单及相关证据材料。

3. 向法院提起诉讼：将准备好的起诉材料提交给法院，并按照法院的要求参与后续的诉讼程序。

最后，我想强调的是，父母对未成年子女的抚养、教育和保护责任是法定义务，不容推卸。无论遇到什么困难，都应该积极寻求法律途径解决，以维护孩子的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。