即使没有签订劳动合同，私人雇佣的员工在工作时间和工作场所内因工作原因摔倒，仍然有可能被认定为工伤。以下是详细分析：

一、工伤认定的核心要素

根据《工伤保险条例》及相关规定，工伤认定的核心要素包括：

1. 工作时间：员工在规定的工作时间内受伤。
2. 工作场所：员工在从事工作活动的场所内受伤。
3. 工作原因：员工因履行工作职责或执行工作任务而受伤。

二、未签劳动合同对工伤认定的影响

1. 事实劳动关系：即使没有签订劳动合同，只要能够证明员工与用人单位之间存在事实劳动关系，如通过工资支付凭证、工作证、考勤记录、同事证言等证据，就可以申请工伤认定。
2. 工伤认定申请：在存在事实劳动关系的前提下，员工或其近亲属、工会组织可以在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，向用人单位所在地统筹地区的社会保险行政部门提出工伤认定申请。

三、工伤认定后的赔偿

1. 赔偿项目：一旦被认定为工伤，员工可以享受相应的工伤保险待遇，包括医疗费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等。
2. 单位责任：如果用人单位未缴纳工伤保险，那么所有赔偿费用将由用人单位承担。

四、实际操作建议

1. 收集证据：员工应尽快收集能够证明事实劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录等。
2. 申请工伤认定：在收集到足够证据后，应及时向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
3. 法律援助：如果在申请工伤认定或后续赔偿过程中遇到困难，员工可以寻求专业律师的法律援助。

五、特殊情况说明

• 如果员工摔倒并非因工作原因，或者发生在非工作时间、非工作场所，那么可能无法被认定为工伤。
• 如果员工与用人单位之间不存在事实劳动关系，那么也无法申请工伤认定。

总结来看，即使没有签订劳动合同，只要能够证明存在事实劳动关系，并且摔倒符合工伤认定的条件，员工仍然有可能被认定为工伤并享受相应的工伤保险待遇。因此，建议员工在受伤后尽快收集证据并申请工伤认定。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。