结论前置：即使私人工作中没有签订劳动合同，员工受伤仍有可能被认定为工伤，并享受相应的工伤待遇。关键在于是否存在事实劳动关系以及伤害是否符合工伤认定情形。

一、事实劳动关系的认定

在判断员工是否属于工伤前，首先需确认其与用人单位之间是否存在事实劳动关系。事实劳动关系是指，即使双方未签订书面劳动合同，但只要劳动者实际为用人单位提供劳动，接受其管理，并由用人单位支付劳动报酬，即可视为双方建立了劳动关系。认定事实劳动关系可依据以下证据：

1. 工资支付凭证或记录：如职工工资发放花名册、银行转账记录等，这些能直接证明用人单位向劳动者支付了劳动报酬。
2. 身份证明证件：用人单位向劳动者发放的工作证、服务证等能够证明身份的证件。
3. 招用记录：劳动者填写的招工招聘登记表、报名表等招用记录，这些能证明劳动者有加入用人单位的意愿，并得到了用人单位的认可。
4. 考勤记录：能证明劳动者在用人单位的工作时间、出勤情况等。
5. 其他劳动者的证言或相关书面材料：如同事的证言、工作群聊天记录等，这些也能从侧面证明劳动关系的存在。

二、工伤认定情形的符合

满足事实劳动关系后，需进一步判断员工的受伤情形是否符合《工伤保险条例》规定的工伤认定条件。具体来说，以下几种情况可被认定为工伤：

1. 工作时间和工作场所内受伤：在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的。
2. 预备性或收尾性工作受伤：工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的。
3. 履行工作职责受伤：在工作时间和工作场所内，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的。
4. 患职业病：需经过职业病诊断机构的诊断确认。
5. 因工外出期间受伤：因工外出期间，由于工作原因受到伤害或者发生事故下落不明的。
6. 上下班途中受伤：在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的。

三、工伤认定流程

1. 收集证据：员工应首先收集能证明事实劳动关系和工伤情形的相关证据，如上述提到的工资支付凭证、身份证明证件、招用记录、考勤记录等。
2. 提出申请：携带收集到的证据，向当地社会保障行政部门提出工伤认定申请。申请时需填写工伤认定申请表，并提交相关证据材料。
3. 调查核实：社会保障行政部门将受理申请，并进行必要的调查核实工作，如审查申请材料、现场调查、询问相关证人等。
4. 作出决定：根据调查结果，社会保障行政部门将作出是否认定为工伤的决定，并书面通知申请人和用人单位。

四、工伤赔偿

若员工被认定为工伤，且用人单位已为其缴纳工伤保险，则工伤待遇将由工伤保险基金支付。若用人单位未缴纳工伤保险，则由用人单位按照工伤保险待遇项目和标准支付费用，包括但不限于医疗费、停工留薪期工资、伤残津贴、一次性伤残补助金等。若双方就赔偿问题无法达成一致，员工可通过劳动仲裁或诉讼途径来维护自身合法权益。

五、特殊情况处理

如果员工与用人单位之间不存在劳动关系，而是劳务关系、承揽关系等其他法律关系，则一般不能认定为工伤。在这种情况下，员工应根据人身损害赔偿的相关法律规定来处理自己的权益问题。例如，如果员工是在提供劳务过程中受伤，可以根据《民法典》中关于侵权责任的规定，向接受劳务的一方主张赔偿。

总结与建议：即使没有签订劳动合同，员工在受伤后仍有可能被认定为工伤并获得相应的赔偿。关键在于收集足够的证据来证明事实劳动关系的存在以及伤害符合工伤认定情形。因此，建议员工在受伤后及时收集相关证据，并向当地社会保障行政部门提出工伤认定申请。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。