针对您提出的问题“房产本写母亲名字，但是母亲立下遗嘱并且公证了”，以下是我的详细解答：

1. 遗嘱的法律效力：

   • 母亲作为房产的所有权人，有权通过立遗嘱的方式处分其房产。遗嘱是遗嘱人生前在法律允许的范围内，按照法律规定的方式对其遗产或其他事务所作的个人处理，并于遗嘱人死亡时发生效力的法律行为。
   • 既然母亲已经立下遗嘱并且公证了，那么这份遗嘱在法律上是具有效力的。公证遗嘱是遗嘱形式中最具法律效力的一种，它经过公证机关的确认，具有更强的证明力。

2. 房产的继承：

   • 根据母亲的遗嘱，房产将按照遗嘱中的指示进行继承。如果遗嘱中明确指定了房产的继承人，那么该继承人将有权继承房产。
   • 需要注意的是，遗嘱继承优先于法定继承。也就是说，如果母亲立有遗嘱，并且遗嘱合法有效，那么将按照遗嘱进行继承，而不是按照法定继承的顺序和份额进行继承。

3. 可能存在的争议：

   • 虽然遗嘱已经公证，但在实际继承过程中，仍可能存在一些争议。例如，其他家庭成员可能对遗嘱的内容或真实性提出质疑，或者认为遗嘱的订立过程存在瑕疵。
   • 在这种情况下，建议继承人及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及如何通过法律途径解决争议。

4. 后续行动建议：

   • 作为继承人，您应该妥善保管好母亲的遗嘱和公证文件，以备不时之需。
   • 如果其他家庭成员对遗嘱有异议，或者您在继承过程中遇到任何法律问题，都可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律建议和帮助。

综上所述，既然母亲已经立下遗嘱并且公证了，那么房产的继承将按照遗嘱中的指示进行。但在实际继承过程中，仍需注意可能存在的争议，并及时咨询专业律师以确保自己的权益得到保障。如果您有任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。