结论：母亲立遗嘱将房产留给独生子女，是否能顺利完成继承，取决于房产是否属于母亲的个人财产以及遗嘱的合法性和有效性。以下从多个角度进行分析：
一、房产是否属于母亲的个人财产
婚前购买且登记在母亲名下：
- 如果房产是母亲在婚前购买，并且房产证上只登记了母亲的名字，那么该房产通常被视为母亲的个人财产。根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十三条，一方的婚前财产为夫妻一方的个人财产。
婚姻期间购买但登记在母亲名下：
- 如果房产是在婚姻关系存续期间购买，即使房产证上只登记了母亲的名字，该房产也可能被视为夫妻共同财产，除非夫妻间有特殊的书面约定。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，婚姻关系存续期间购买的房产，除非有特殊约定，否则应视为夫妻共同财产。
父母出资但登记在子女名下：
- 如果房产是父母出资购买，但登记在子女（即母亲作为父母时的子女，或母亲作为被赠与人的情况需具体分析）名下，且没有明确的书面约定表明该房产属于母亲个人财产，那么该房产可能被视为对子女的赠与，属于子女的财产。不过，若母亲能证明购房资金来源于其个人财产，并且有明确的书面约定，该房产仍可能被视为母亲的个人财产。
二、遗嘱的合法性和有效性
遗嘱形式：
- 母亲可以立自书遗嘱、代书遗嘱、录音遗嘱、口头遗嘱或公证遗嘱。不同形式的遗嘱有不同的法律要求，例如自书遗嘱需要母亲亲笔书写并签名，代书遗嘱需要有两个以上见证人在场见证等。
遗嘱内容：
- 遗嘱内容必须明确、具体，指明房产的归属。遗嘱中应清晰表述母亲愿意将房产留给独生子女的意愿，并明确房产的具体信息（如地址、面积等）。
遗嘱见证人：
- 如果遗嘱是代书遗嘱、录音遗嘱或口头遗嘱，需要有符合法律规定的见证人在场见证。见证人不能是遗嘱的受益人或与受益人有利害关系的人。
遗嘱的公证：
- 虽然公证不是遗嘱生效的必要条件，但公证遗嘱具有更高的法律效力。如果母亲希望遗嘱更具权威性，可以选择进行公证。
三、继承流程
母亲去世后：
- 独生子女需要携带母亲的死亡证明、遗嘱（如果遗嘱已经公证，则携带公证书）、房产证等相关材料，到不动产登记中心办理继承手续。
其他继承人：
- 如果母亲还有其他法定继承人（如配偶、父母等），且这些继承人没有放弃继承权，那么独生子女可能需要与其他继承人协商或通过法律途径解决继承问题。不过，如果遗嘱中明确指定房产只归独生子女所有，且遗嘱合法有效，那么其他继承人通常无权干涉。
四、建议
明确房产归属：
- 母亲在立遗嘱前，应明确房产是否属于其个人财产。如果存在疑问或争议，建议咨询专业律师进行财产归属的确认。
合法有效立遗嘱：
- 母亲应确保遗嘱的合法性和有效性，遵循法律规定的遗嘱形式和内容要求。如果可能的话，选择进行遗嘱公证以增加遗嘱的权威性。
及时沟通：
- 母亲可以与独生子女及其他家庭成员进行沟通，明确自己的意愿和安排，避免未来可能出现的家庭纠纷。
总结：母亲立遗嘱将房产留给独生子女是否能顺利完成继承，取决于房产是否属于母亲的个人财产以及遗嘱的合法性和有效性。为了确保继承的顺利进行，母亲应明确房产归属、合法有效立遗嘱，并及时与家庭成员进行沟通。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。