私人幼儿园无缘故辞退老师，如果属于违法辞退，那么幼儿园需要支付双倍赔偿金，因此这种辞退行为是不合法的。具体分析如下：

1. 合法辞退无需赔偿的情形：

   • 如果老师存在严重违反幼儿园规章制度等符合《劳动合同法》第三十九条的情形，幼儿园可以依法辞退，且无需支付赔偿款。

2. 需要支付经济补偿的情形：

   • 如果幼儿园与老师协商一致解除劳动合同，或者因无过失性辞退（如老师患病、不能胜任工作等），幼儿园需要按工作年限每满一年支付一个月工资的经济补偿。

3. 违法辞退需支付双倍赔偿金的情形：

   • 如果幼儿园无故辞退老师，且没有合法依据，那么这种辞退行为是违法的。在此情况下，幼儿园需要按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

因此，如果私人幼儿园无缘故辞退老师，且没有合法依据，老师可以先与幼儿园协商，要求支付相应的赔偿金。协商不成时，老师可以依法申请劳动仲裁来维护自身权益。在申请劳动仲裁时，老师需要提供相关证据证明幼儿园的辞退行为是违法的，以便获得法律的支持和保护。