结论：在私人幼儿园工作但未签订劳动合同的情况下被辞退，您仍然有权获得一定的补偿，具体补偿情况需根据实际情况判断。
分析说明：
未签订劳动合同的双倍工资差额：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果您在私人幼儿园工作超过一个月且未签订劳动合同，您有权要求幼儿园支付除正常工资外的另一倍工资作为补偿。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 如果幼儿园没有合法理由就辞退您，这可能构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准通常是根据您在幼儿园的工作年限和月工资来计算的。
经济补偿金（如适用）：
- 如果幼儿园因经营困难等原因需要裁员，并且符合法律规定的程序和条件，那么幼儿园可能需要向您支付经济补偿金。经济补偿金的计算通常基于您在幼儿园的工作年限和月工资。但需要注意的是，如果幼儿园是违法解除劳动合同，则应支付赔偿金而非经济补偿金。
特殊场景：
- 如果您在幼儿园的工作时间很短（例如不到一个月），那么您可能无法获得未签订劳动合同的双倍工资差额，但仍有权要求幼儿园支付您实际工作期间的工资。
- 如果幼儿园能够证明您存在严重违反规章制度等情形，那么幼儿园可能不需要支付赔偿金或经济补偿金。但这一证明责任在幼儿园，且需要符合法律规定的程序和条件。
行动建议：
- 收集证据：首先，您需要收集能够证明您与幼儿园存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录等。这些证据将有助于您在劳动仲裁或诉讼中维护自己的权益。
- 与幼儿园协商：在采取法律行动之前，您可以尝试与幼儿园进行协商，看是否能够达成和解并获得相应的补偿。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求幼儿园支付未签订劳动合同的双倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金或经济补偿金等。
- 寻求法律援助：如果您在劳动仲裁或诉讼过程中遇到困难，可以寻求法律援助或咨询专业律师（即我，郭树进律师，专注于公司事务、刑事辩护、劳动纠纷等领域）以获取更专业的帮助。
计算公式（以经济补偿金为例，赔偿金为经济补偿金的两倍）：
- 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资
- 工作年限：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资：指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
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