当合同到期后公司并未按时续约，但您继续工作了一个月时，您与公司之间实际上已经形成了事实劳动关系。这种关系虽然未以书面形式明确，但仍然受到《中华人民共和国劳动合同法》等法律法规的保护。以下是对此情况的具体分析和建议：
一、劳动关系认定
尽管原劳动合同已经到期，但如果您继续为公司工作且公司未提出异议，并继续安排工作任务和发放工资，那么根据法律规定，双方之间实际上已经形成了事实劳动关系。
二、未续签合同的法律后果
双倍工资支付：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。例如，若您的原劳动合同于2024年1月31日到期，之后继续工作但公司未续签合同，则从2024年3月1日起，您可以要求公司支付双倍工资，直至双方签订新的书面劳动合同或者至2025年1月31日（满一年）为止。
无固定期限劳动合同的成立：
- 如果自原合同到期之日起满一年，公司仍未与您续签书面劳动合同，则视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。无固定期限劳动合同为您提供了更大的职业稳定性保障。
三、您的权利和应对措施
要求签订合同：
- 您应主动与公司沟通，要求续签书面劳动合同以明确双方的权利和义务。沟通过程中建议使用书面形式，如邮件、书面申请等，并确保保留好相关证据。
主张双倍工资和经济补偿：
- 如果公司拒绝续签合同，您可以通过劳动仲裁的方式要求公司支付未签订书面劳动合同期间的双倍工资差额。同时，您也可以以公司未签订书面劳动合同为由解除劳动关系，并要求公司按工作年限支付经济补偿金。
法律救济途径：
- 您在维权过程中应注意时效问题，申请劳动仲裁的时效为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。
四、公司的风险和责任
经济成本增加：
- 公司需承担因未续签书面劳动合同而可能支付的双倍工资成本，这将显著增加公司的用工成本。
劳动关系不稳定：
- 未签订书面劳动合同可能导致员工缺乏安全感和工作积极性下降，甚至可能引发员工随时离职的情况，进而影响公司的正常运营和稳定性。
综上所述，合同到期后公司未续签但您继续工作的情况，双方均应承担相应的法律责任和风险。为避免潜在的法律纠纷和经济损失，建议您与公司尽快协商并补签书面劳动合同。如果公司在您提出要求后仍拒绝续签或变更待遇，您有权采取法律措施维护自身权益，包括申请劳动仲裁等。