针对你提出的“第三方用人单位不签订劳动合同”的问题，我可以明确告诉你，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，第三方用人单位若未与劳动者签订书面劳动合同，将承担相应的法律责任。以下是我对此问题的详细解答：
结论前置：第三方用人单位不签订劳动合同，劳动者有权要求支付双倍工资，并可能确立无固定期限劳动合同关系。同时，用人单位还可能面临行政责任。
一、不同情形下的法律责任
劳务派遣情形：
- 若劳务派遣单位（即用人单位）未与劳动者签订劳动合同，自用工之日起超过一个月不满一年的，应向劳动者每月支付二倍工资；满一年仍未签约的，视为已订立无固定期限劳动合同，并应补订书面合同，同时支付前述期间的双倍工资。
- 实际用工的第三方单位（用工单位）通常无签约义务，但若因用工单位原因导致派遣单位无法与劳动者签约并造成损害，用工单位可能与派遣单位承担连带赔偿责任。
其他第三方主体：
- 若其他第三方主体与劳动者形成事实劳动关系而未签订书面劳动合同，同样需支付双倍工资，并可能确立无固定期限劳动合同关系。
二、赔偿计算方式
- 确定赔偿月数：从用工满一个月的次日计算至补签劳动合同前一天，或至满一年的前一天（最长十一个月）。
- 计算月工资标准：包括基本工资、奖金、津贴等所有货币性收入。
- 核算双倍工资：月工资标准乘以赔偿月数得出双倍工资总额。
三、主张权益的方式
- 协商：首先尝试与用人单位协商，要求其按照法律规定签订劳动合同或支付赔偿。
- 投诉：若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉，劳动监察部门有权责令单位改正并处罚。
- 仲裁与诉讼：若投诉仍无法解决问题，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付双倍工资差额等。对仲裁裁决不服的，可向人民法院提起诉讼。
四、建议与提醒
- 作为劳动者，应在入职时及时与用人单位签订劳动合同，明确双方权利义务，避免纠纷。
- 若遇到用人单位不签订劳动合同的情况，应勇敢维护自己的权益，通过协商、投诉、仲裁或诉讼等方式寻求帮助。
- 用人单位也应遵守法律规定，及时与劳动者签订书面劳动合同，以免承担不必要的法律责任。
综上所述，第三方用人单位不签订劳动合同是违法行为，劳动者有权要求赔偿并维护自己的合法权益。若你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。