关于我国国营企业工人死亡后家属的抚慰抚恤金制度何时开始，这个问题涉及到我国社会保障制度和劳动保险制度的历史发展，以及可能存在的地域性差异。

从找到的参考信息来看，青海省是在2014年10月1日起正式建立了企业退休人员死亡后遗属抚恤金制度，而广东省的相关制度则可能更早，因为其《广东省企业职工假期待遇死亡抚恤待遇暂行规定》中已经包含了关于职工（含离退休人员）因病或非因工负伤死亡后的抚恤待遇规定，该规定自发文之日起实施，且发文日期为1997年（粤劳薪[1997]115号）。

然而，这些只是具体省份的制度建立时间，并不能代表全国统一的国营企业工人死亡后家属抚慰抚恤金制度的开始时间。实际上，我国的社会保障制度和劳动保险制度在建国后经历了多次改革和调整，抚恤金制度作为其中的一部分，也可能在不同的历史时期有不同的规定和实施情况。

因此，要准确回答我国国营企业工人死亡后家属的抚慰抚恤金制度何时开始，需要查阅更全面的历史资料和文献，了解我国社会保障制度和劳动保险制度的发展历程，以及抚恤金制度在其中的演变和确立过程。由于这是一个涉及历史和政策的问题，建议咨询专业的社会保障或劳动保险研究人员，或者查阅相关的官方文件和档案，以获取更准确和全面的信息。