这种情况是有可能被认定为工伤的。根据《工伤保险条例》的相关规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，应当认定为工伤。下面我详细为你分析一下：
工作时间：如果你是在单位的工作时间内进行打扫卫生，那么这一条件就满足了。
工作场所：打扫卫生通常是在单位的工作区域内进行，这也符合工作场所的要求。
工作原因：虽然打扫卫生可能不是你的主要工作职责，但如果是单位安排或者你为了单位的整洁而自发进行，且这一行为与工作有关，那么也可以视为工作原因。
事故伤害：你把手指的筋弄断了，这显然是一种事故伤害。
因此，结合上述四个条件，你在单位打扫卫生时把手指的筋弄断，是有可能被认定为工伤的。建议你及时向单位报告，并按照单位的程序申请工伤认定。如果单位不配合或者你对认定结果有异议，可以向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。