关于公司辞退无限期合同员工的赔偿问题，这确实是一个涉及劳动者权益的重要话题。以下是对这一问题的详细解答：

一、合法辞退与无需赔偿的情况

首先，如果公司能够证明员工存在严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条规定的过错情形，那么公司可以合法辞退该员工，并且无需支付任何赔偿。这是基于员工自身行为不当导致的合同解除，因此公司不承担额外的经济责任。

二、经济性裁员与经济补偿

其次，如果公司进行经济性裁员而辞退员工，那么需要支付经济补偿。经济补偿的计算方式如下：

• 计算标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
• 月工资定义：这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

例如，如果员工在公司工作了5年，月平均工资为5000元，那么经济性裁员时公司应支付的经济补偿为5年×5000元/年=25000元。

三、违法辞退与双倍赔偿

最后，如果公司无正当理由违法辞退无限期合同员工，那么需要按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。继续上面的例子，如果公司违法辞退该员工，那么需要支付的赔偿金为25000元×2=50000元。

四、员工权益保护

对于员工来说，如果遇到被辞退的情况，应先明确辞退原因。如果认为公司辞退行为违法，可以通过以下途径维护自身权益：

• 协商：与公司进行协商，寻求合理的解决方案。
• 申请劳动仲裁：如果协商无果，可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
• 提起诉讼：在必要时，还可以向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

五、总结

综上所述，公司辞退无限期合同员工的赔偿问题需要根据具体情况来判断。如果是合法辞退，公司无需支付赔偿；如果是经济性裁员，公司需要支付经济补偿；如果是违法辞退，公司则需要支付双倍的赔偿金。员工在遇到被辞退的情况时，应了解自己的权益，并通过合法途径维护自身权益。