幼儿园经营不善要求老师辞职，这一行为是否合法，取决于具体的辞职要求和操作方式。下面我将从不同角度进行详细分析：

1. 劳动合同法的相关规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》，用人单位与劳动者签订劳动合同后，应当按照合同约定提供劳动条件，支付劳动报酬。
   • 如果幼儿园因经营不善需要裁员，应当按照《劳动合同法》第四十一条的规定进行，即需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，用人单位应提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员。
   • 在裁员过程中，幼儿园应当优先留用与本单位订立较长期限的固定期限劳动合同、无固定期限劳动合同以及家庭无其他就业人员，有需要扶养的老人或者未成年人的员工。

2. 辞职的合法性分析：

   • 如果幼儿园直接要求老师辞职，而没有按照上述裁员程序进行，那么这种行为可能是违法的。
   • 老师可以拒绝直接辞职的要求，并有权向劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

3. 经济补偿金的可能性：

   • 如果幼儿园违法解除与老师的劳动合同，老师有权要求幼儿园支付经济补偿金。
   • 经济补偿金的计算方式主要依据《劳动合同法》第四十七条的规定，按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

综上所述，幼儿园经营不善要求老师辞职，如果未按照《劳动合同法》的规定进行裁员，那么这一行为可能是违法的。老师可以拒绝直接辞职的要求，并有权采取法律手段维护自己的合法权益。如果有进一步的问题或需要详细的法律建议，请直接向我咨询。