结论前置：在未签劳动合同的情况下，用人单位不能随意开除员工。若违法解除劳动关系，用人单位可能面临支付双倍工资、经济补偿或赔偿金等法律后果。

一、劳动合同的重要性

根据《中华人民共和国劳动合同法》，建立劳动关系应当订立书面劳动合同，这是法律的明确要求。已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内补订。若用人单位未按规定与劳动者签订书面劳动合同，将承担相应的法律责任。

二、未签劳动合同开除员工的法律后果

1. 支付双倍工资：

   • 用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

2. 支付经济补偿或赔偿金：

   • 若用人单位无合法理由开除未签劳动合同的员工，构成违法解除劳动关系，需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

三、合法解除劳动关系的情形

尽管未签劳动合同，但在某些情况下，用人单位仍可以合法解除劳动关系：

1. 一个月内解除：

   • 若用人单位在用工之日起一个月内书面通知劳动者签订劳动合同而劳动者拒绝，用人单位可书面通知终止劳动关系，无需支付经济补偿，但需支付实际工作时间的劳动报酬。

2. 因劳动者过错解除：

   • 若劳动者存在严重违反规章制度、失职舞弊等《劳动合同法》第三十九条规定的过错情形，用人单位可解除劳动合同且无需支付经济补偿。

四、用人单位的正确做法

为避免不必要的法律风险和经济损失，用人单位应尽快与劳动者补签劳动合同，并严格遵守劳动合同法律法规。若因未签劳动合同而引发争议，劳动者有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

综上所述，未签劳动合同并不能作为开除员工的合法理由。用人单位应依法与劳动者订立书面劳动合同，并遵守相关法律法规，以保障双方的合法权益。若您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。